Опубликован: 19.01.2010 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 15:

Криптосистемы

< Лекция 14 || Лекция 15: 1234567

15.4. Рекомендованная литература

Для более детального изучения положений, обсужденных в этой лекции, мы рекомендуем нижеследующие книги и сайты. Пункты, указанные в скобках, показаны в списке ссылок в конце книги.

Книги

Криптографическая система RSА рассматривается в [Sti06], [Sta06], [PHS03], [Vau06], [TW06] и [Mao04]. Криптосистемы Рабина и Эль-Гамаля — в [Sti06] и [Mao04]. Криптография эллиптической кривой — в [Sti06], [Eng99] и [Bla03].

Сайты

Следующие сайты дают больше информации о темах, рассмотренных в этой лекции.

15.5. Итоги

  • Есть два способа достигнуть информационной безопасности: криптография с симметричными ключами и криптография с асимметричными ключами. Эти два способа существуют параллельно и дополняют друг друга; преимущества одного могут дать компенсацию недостаткам другого.
  • Концептуальные различия между этими двумя способами базируются на том, как они сохраняют секретность. В криптографии с симметричными ключами секретность должна быть разделена между двумя объектами; в криптографии с асимметричными ключами секретность персональная (неразделенная).
  • Криптография с симметричными ключами базируется на подстановке и перестановке символов; криптография с асимметричными ключами базируется на применении математических функций к числам.
  • Криптография с асимметричными ключами использует два отдельных ключа: один секретный и один открытый. Шифрование и дешифрование можно представлять себе как запирание и отпирание замков ключами. Замок, который заперт открытым ключом, можно отпереть только соответствующим секретным ключом.
  • В криптографии с асимметричным ключом ответственность обеспечения безопасности находится, главным образом, на плечах приемника (Боб), который должен создать два ключа: один секретный и один открытый. Боб несет ответственность за секретный ключ. Открытый ключ может быть распространен сообществу через канал распределения открытого ключа.
  • В отличие от криптографии с симметричными ключами, в криптографии с асимметричным ключом исходный текст и зашифрованный текст обрабатываются как целые числа. Сообщение должно кодироваться как целое число (или множество целых чисел) перед шифрованием; целое число (или множество целых чисел) должно быть расшифровано в сообщение после дешифрования. Криптография с асимметричным ключом обычно используется, чтобы зашифровать или расшифровывать маленькие сообщения, такие как ключ шифра для криптографии с симметричными ключами.
  • Главная идея криптографии с асимметричным ключом — понятие "лазейка" в односторонней функции (TOWF), которая является такой функцией, что f вычисляется просто, а f -1 вычислить невозможно (в смысле сложности вычислений), если не используется лазейка.
  • Блестящая идея относительно криптографии общедоступного ключа принадлежит Меркелю и и Хеллману – это ранцевая криптосистема . Когда нам говорят, какие элементы из заранее заданного множества чисел находятся в рюкзаке, мы можем легко вычислить сумму чисел; когда нам сообщают сумму, трудно сказать, какие элементы находятся в рюкзаке, если он не заполнен элементами сверхвозрастающего множества.
  • Самый общий алгоритм общедоступного ключа — криптографическая система RSА. RSA использует два числа e и d, где e — общедоступный ключ, а d является частным (секретным). Алиса использует C = Pe mod n для того, чтобы создать зашифрованный текст C из исходного текста P ; Боб использует P = Сd mod n, чтобы извлечь исходный текст, переданный Алисой.
  • RSA применяет две алгебраических структуры: кольцо и группа. Шифрование и дешифрование выполняются с использованием коммутативного кольца R =  < {Z_n}^*, + , \times  > с двумя арифметическими операциями — сложением и умножением. RSA применяет мультипликативную группу G =  < {Z_n}^*, \times  > для генерации ключей.
  • Никаких разрушительных атак на RSA не было обнаружено. Теоретически предсказано несколько атак, основанных на разложении на множители, выборке шифрованного текста, образце дешифрования, образце шифрования, исходном тексте, модуле и реализации.
  • Криптосистема Рабина — вариант криптографической системы RSА. RSA базируется на экспоненциальном сравнении; криптосистема Рабина базируется на квадратичном сравнении. Мы можем представлять себе, что криптосистема Рабина — это RSA, в которой значение e = 2 и d = 1/2. Криптографическая система Рабина безопасна, пока p и q — большие числа. Сложность криптосистемы Рабина — на том же самом уровне, как и процесс разложения большого числа n на два простых сомножителя p и q.
  • Криптосистема Эль-Гамаля базируется на проблеме дискретного логарифма. Криптосистема Эль-Гамаля использует идею первообразных корней в Zn*. Шифрование и дешифрование в криптосистеме Эль-Гамаля использует группу G =  < {Z_p}^*, \times  > Общедоступный ключ — это два числа, e1 и e2, а секретный ключ — это целое число d. Безопасность криптосистемы Эль-Гамаля основана на том, что решение проблемы дискретного логарифма не существует. Однако в литературе была упомянута атака, основанная на малом значении модуля, и атака знания исходного текста.
  • Другая криптографическая система, рассмотренная в этой лекции, базируется на эллиптических кривых. Эллиптические кривые являются кубическими уравнениями в двух переменных. Эллиптические кривые на поле вещественных чисел используют специальный класс эллиптических кривых y2 = x3 + ax + b, где 4{a^3} + 27{b^2} \ne 0. Абелева группа была определена с помощью эллиптической кривой с операцией сложения, которая показывает, как две точки на кривой можно сложить, чтобы получить другую точку на этой кривой.
  • Криптография эллиптической кривой применяет две алгебраических структуры, абелеву группу и поле. Поле может быть полем вещественных чисел, GF (p) и GF (2n). Мы показали, как криптосистема Эль-Гамаля может моделироваться, используя эллиптические кривые в конечном поле. Безопасность криптографии эллиптической кривой зависит от проблемы логарифма эллиптической кривой, решение которой неосуществимо при большом значении модуля.

15.6. Набор для практики

Обзорные вопросы

  1. Найдите различия между криптосистемами с симметричными ключами и асимметричными ключами.
  2. Найдите различия между открытыми и секретными ключами в криптосистеме с асимметричными ключами. Найдите совпадения и различие ключей в криптосистемах с симметричными ключами и с асимметричными ключами.
  3. Определите "лазейку" в односторонней функции и объясните её использование в криптографии с асимметричным ключом.
  4. Кратко объясните идею ранцевой криптосистемы
    • Что является односторонней функцией в этой системе?
    • Что является лазейкой в этой системе?
    • Определите открытые и секретные ключи в этой системе.
    • Опишите безопасность этой системы.
  5. Кратко объясните идею криптографической системы RSA.
    • Что является односторонней функцией в этой системе?
    • Что является лазейкой в этой системе?
    • Определите открытые и секретные ключи в этой системе.
    • Опишите безопасность этой системы.
  6. Кратко объясните идею криптосистемы Рабина.
    • Что является односторонней функцией в этой системе?
    • Что является лазейкой в этой системе?
    • Определите открытые и секретные ключи в этой системе.
    • Опишите безопасность этой системы.
  7. Кратко объясните идею криптосистемы Эль-Гамаля.
    • Что является односторонней функцией в этой системе?
    • Что является лазейкой в этой системе?
    • Определите открытые и секретные ключи в этой системе.
    • Опишите безопасность этой системы.
  8. Кратко объясните идею криптографии эллиптической кривой (ECC).
    • Что является односторонней функцией в этой системе?
    • Что является лазейкой в этой системе?
    • Определите открытые и секретные ключи в этой системе.
    • Опишите безопасность этой системы.
  9. Определите эллиптические кривые и объясните их приложения в криптографии.
  10. Определите операцию, используемую в абелевой группе, которая обрабатывает точки на эллиптической кривой.

Упражнения

  1. Учитывая сверхвозрастающий кортеж b = [7, 11,23,43,87, 173, 357], r =41 и модуль n = 1001, зашифруйте и расшифруйте букву a, используя ранцевую криптосистему. Используйте [7 6 5 1 2 3 4] как таблицу перестановки.
  2. В RSA:
    • Дано n = 221 и e = 5, найдите d.
    • Дано n =3937 и e =17, найдите d.
    • Дано p = 19, q = 23 и e = 3, найдите n, \varphi , (n) (^) и d.
  3. Для того чтобы понять безопасность алгоритма RSА, найдите d, если вы знаете, что e =17, а n =187.
  4. В RSA дано n и \varphi (n), вычислите p и q.
  5. В RSA дано e = 13 и n = 100. Зашифруйте сообщение "HOW ARE YOU", применяя 00 к 25 для букв от A до Z и 26 — для пробела. Используйте различные блоки, чтобы сделать P <n.
  6. В RSA дано n = 12091 и e = 13. Зашифруйте сообщение "THIS IS THOGH", используя схему кодирования 00 к 26. Расшифровать зашифрованный текст, чтобы найти первоначальное сообщение.
  7. В RSA:
    • Почему Боб не может выбрать 1 как открытый ключ e?
    • Какова проблема в выборе 2 открытым ключом?
  8. Алиса использует открытый ключ RSА Боба (e = 17, n = 19519), чтобы передать сообщение из четырех символов Бобу, применяющему схему A \leftrightarrow 0, B \leftrightarrow 1...Z \leftrightarrow 25 кодирования и декодирования по каждому символу отдельно. Ева перехватывает зашифрованный текст (6625 0 2968 17863) и расшифровывает сообщение, не разлагая на множители модуль. Найдите исходный текст; объясните, почему Ева смогла легко взломать зашифрованный текст.
  9. Алиса использует открытый ключ RSА Боба (e = 7, n = 143), чтобы передать исходный текст P = 8, зашифрованный в виде текста C = 57. Покажите, как Ева может использовать атаку выборки текста, если она имеет доступ к компьютеру Боба, чтобы найти исходный текст.
  10. Алиса использует общедоступный ключ RSA Боба (e = 3, n = 35) и передает зашифрованный текст 22 Бобу. Покажите, как Ева может найти исходный текст, используя атаку циклического повторения.
  11. Предложите, как Алиса может предотвратить атаку связанного сообщения на RSA.
  12. Используя криптосистему Рабина с p = 47 и q =11:
    • Зашифруйте P = 17 и найдите зашифрованный текст.
    • Используя Китайскую теорему об остатках, найдите четыре возможных исходных текста.
  13. В криптосистеме Эль-Гамаля дано простое число p = 31:
    • Выберите соответствующие e1 и d, затем вычислите e2.
    • Зашифруйте сообщение "HELLO" ; используйте 00 к 25 для кодирования. Используйте различные блоки для того, чтобы сделать P<p.
    • Расшифруйте зашифрованный текст, чтобы получить исходный текст.
  14. Что случится в криптосистеме Эль-Гамаля —, если C1 и C2 будут изменены в течение передачи?
  15. Предположим, что Алиса применяет в криптосистеме Эль-Гамаля общедоступный ключ Боба ( e1 = 2 и e 2 = 8 ), чтобы передать два сообщения — P = 17 и P' = 37. Они оба используют то же самое случайное целое число r = 9. Ева перехватывает зашифрованный текст и так или иначе находит значение P = 17. Покажите, как Ева может использовать атаку знания исходного текста, чтобы найти значение P'.
  16. В эллиптической кривой E (1, 2) в поле GF (11):
    • Найдите уравнение кривой.
    • Найдите все точки на кривой и сделайте рисунок, такой же, как рис. 15.5.
    • Сгенерируйте общедоступный и секретный ключи для Боба.
    • Выберите точку на кривой как исходный текст Алисы.
    • Создайте зашифрованный текст, соответствующий исходному тексту Алисы в пункте d.
    • Расшифруйте зашифрованный текст для Боба, чтобы найти исходный текст, передаваемый Алисой.
  17. В эллиптической кривой E (g4, 1) в поле GF(24):
    • Найдите уравнение кривой.
    • Найдите все точки на кривой и сделайте рисунок, такой же, как рис. 15.5.
    • Сгенерируйте общедоступный и секретный ключи для Боба.
    • Выберите точку на кривой как исходный текст Алисы.
    • Создайте зашифрованный текст, соответствующий исходному тексту Алисы в пункте г.
    • Расшифруйте зашифрованный текст для Боба, чтобы найти исходный текст, передаемый Алисе.
  18. Используйте ранцевую криптосистему:
    • Напишите алгоритм для шифрования.
    • Напишите алгоритм для дешифрования.
  19. В RSA:
    • Напишите алгоритм для шифрования, используя оптимальное асимметричное дополнение шифрования (OAEC).
    • Напишите алгоритм для дешифрования, используя оптимальное асимметричное дополнение шифрования (OAEC).
  20. Напишите алгоритм для атаки циклического повторения на RSA.
  21. Напишите алгоритм для сложения двух точек на эллиптической кривой в GF(p).
  22. Напишите алгоритм для сложения двух точек на эллиптической кривой в GF(2n).
< Лекция 14 || Лекция 15: 1234567
Евгений Виноградов
Евгений Виноградов

Прошел экстерном экзамен по курсу перепордготовки "Информационная безопасность". Хочу получить диплом, но не вижу где оплатить? Ну и соответственно , как с получением бумажного документа?

Илья Сидоркин
Илья Сидоркин

Добрый день! Подскажите пожалуйста как и когда получить диплом, после сдичи и оплаты?????

Сергей Христовский
Сергей Христовский
Россия, Омск
Александр Шумаев
Александр Шумаев
Россия