Самостоятельная работа 7: Оптимизация и распараллеливание вычислений в задаче детектирования объектов на изображениях с использованием алгоритма Latent SVM

12.2. Приложение Б. Применение двумерного быстрого преобразования Фурье для вычисления сверток

12.2.1. Постановка задачи

Входные данные:

1. Двумерная матрица векторов признаков (матрица признаков на некотором уровне пирамиды признаков). Данная матрица может быть представлена в виде трехмерного прямоугольного параллелепипеда размерности , где – число столбцов матрицы векторов, - количество строк матрицы векторов, – размерность вектора признаков. Двумерную матрицу, полученную при каждом фиксированном p , будем называть каналом.
2. Двумерная матрица весовых векторов фильтра (это может быть точный или грубый фильтр). Данная матрица может быть представлена в виде трехмерного прямоугольного параллелепипеда размерности , где – число столбцов матрицы весовых векторов, – количество строк матрицы весовых векторов, – размерность вектора весов.

Выходные данные: двумерная матрица свертки размерности

Задача: определить значения элементов матрицы свертки в соответствии с формулой

12.2.2. Этапы решения

1. Для каждого канала матрицы векторов признаков оперделяем образ Фурье. Для этого используется двумерное дискретное преобразование Фурье. Для вычисления двумерного преобразования применяется одномерное БПФ сначала к строкам, потом к столбцам (или наоборот):

   

   где .

   При вычислении значений оценочной функции на фиксированном уровне операцию достаточно сделать один раз для всех точных фильтров и один раз для грубого фильтра, т.к. свертки с грубыми и точными фильтрами считаются на разных уровнях пирамиды признаков.

2. Для каждого канала матрицы весовых векторов фильтра получаем образ Фурье. Для этого матрицу весов каждого канала необходимо повернуть на и дополнить нулями до размерности матрицы признаков, затем применить двумерное дискретное преобразование Фурье (аналогично применяется одномерное преобразование последовательно к строкам и столбцам):

   

   где
3. Для каждого канала находим свертку образов Фурье :

   где

   

   
   Рис. 14.7.
4. Находим суммарную свертку по всем каналам : где
5. Определяем прообраз Фурье для свертки, используя одномерное преобразование Фурье:
   
   
   
   где

12.2.3. Одномерное дискретное преобразование Фурье

Постановка задачи:

– последовательность действительных чисел, N - произвольное число (в общем случае составное).

– множество образов Фурье для последовательности .

Задача состоит в том, чтобы определить множество образов Фурье.

Алгоритм:

Пусть имеет два простых множителя и . Тогда любые и можно представить в виде и . Как следствие, каждый элемент последовательности образов Фурье выражается следующим образом:

где

В случае, когда N – произвольное составное число, которое имеет больше простых множителей, чем два, указанная процедура выполняется рекурсивно. Сначала N представляется в виде произведения пары составных множителей. Затем для каждого выполняется разложение на два сомножителя. Эта процедура выполняется до тех пор, пока следующие множители не окажутся простыми числами.