Сети очередей

МУЛ-алгоритм

Алгоритм средней величины (MVA - Mean Value Algorithm ) - это алгоритм для вычисления критериев качества работы сетей очередей. Он изящным образом сочетает два главных результата в теории организации очереди: теорему прибытия (8.27) и закон (формулу) Литтла (5.20). Алгоритм был сначала опубликован Lavenberg и Reiser (1980 [72]).

Мы рассматриваем сеть организации очереди с узлами и клиентами (все принадлежат одной цепочке). Относительные нагрузки узлов обозначены . Алгоритм рекурсивный по числу заявок от клиентов сети, то есть сеть с заявкой от клиентов получается из сети, обслуживающей заявок.

Примем, что среднее число заявок оот клиентов в узле равно , где - общее количество клиентов в сети. Очевидно, что:

( 14.11)

Алгоритм выполняется рекурсивно за два шага.

Шаг 1.

Увеличьте число заявок от клиентов от до . Согласно теореме прибытия, -ый клиент поступит в систему, когда система с клиентами находится в статистическом равновесии. Следовательно, среднее время пребывания (время ожидания + время обслуживания) в узле :

• для M/M/1, M/G/1-PS M/G/1-LCFS-PR

  .

• для :

  

  где среднее время обслуживания в узле , который имеет приборов. Для вычисления средних времен ожидания мы можем принять -дисциплину организации очереди.

Шаг 2.

Используя формулу Литтла ( ), которая применима для всех систем в статистическом равновесии, для узла мы получим:

где - относительная интенсивность поступления заявок к узлу . Константа нормализации c получена, исходя из общего количества клиентов:

( 14.13)

За эти два шага мы выполнили рекурсию от до заявок. Для нет никакого времени ожидания в системе, и равняется среднему времени обслуживания . Ниже был показан -алгоритм для одного узла обслуживания, но довольно просто делать вывод для узлов или с несколькими обслуживающими приборами или с бесконечным числом обслуживающих приборов.

Пример 14.4.3: Модель с центральным обслуживающим прибором

Применим MVA -алгоритм к модели с центральным обслуживающим прибором (Пример 14.4.2). Относительная интенсивность поступления:

	Узел 1	Узел 2	Узел 3

Естественно, что результат идентичен тому, который получен при применении алгоритма свертывания. Время пребывания на каждом узле (выраженное через единицу времени):

Пример 14.4.4: MVA-АЛГОРИТМ, в приложении к модели Пальма (восстановления машин)

Мы рассматриваем модель Пальма восстановления машин с источниками, конечным временем раздумья и центральным процессором (время обслуживания равняется одной единице времени). Как было упомянуто в секции 12.5.2, эта модель эквивалентна системе с потерями Эрланга с серверами и предложенной нагрузкой . Это также закрытая сеть организации очереди с двумя узлами и клиентами в одной цепочке. Если мы применяем MVA -алгоритм к этой системе, то получаем рекурсивную формулу Эрланга - B-формулу (7.29). Относительная интенсивность посещения идентична той с которой клиент соответственно посещает первый или второй узел: .

	Узел 1	Узел 2

Мы знаем, что длина очереди в терминалах (узел 1) равна обслуженной нагрузке, измеренной в Эрлангах - в системе, и что все другие заявки клиенты находятся в центральном процессоре (узел 2). Мы, таким образом, имеем:

	Узел 1	Узел 2

Из этого получаем нормировочную константу и находим для того клиента:

потому что . Это рекурсивная формула для системы B-Эрланга.

BCMP-сети очередей

В 1975 г. вторая модель Джексона была далее обобщена Baskett, Chandy, Muntz и Palacios (1975 [4]). Они показали, что сети очередей с более чем одним типом клиентов также имеют мультипликативную форму, при условии, что:

• каждый узел имеет симметричную систему организации очереди см. секцию 14.2: Пуассоновский поток вызовов Пуассоновский процесс освобождения);
• заявки от клиентов классифицированы в цепочки. Каждая цепочка характеризуется своим собственным средним временем обслуживания и вероятностями перехода Кроме того, после окончания обслуживания в узле клиент может переходить из одной цепочки к другой с некоторой вероятностью. Имеется одно ограничение: если дисциплина организации очереди в узле - (включая ), то среднее время обслуживания должно быть идентично для всех цепочек в узле.

BCMP -сети могут быть рассчитаны с помощью многомерного алгоритма свертывания и многомерного MVA -алгоритма.

Смешанные сети очередей (открытые и закрытые) рассчитываются сначала путем вычисления нагрузки от открытых цепочек в каждом узле. Эту нагрузку нужно обслуживать так, чтобы соблюдалось статистическое равновесие.

Производительность этих узлов уменьшается на эту нагрузку, и закрытая сеть очередей рассчитывается уже с меньшей производительностью. Так что главная проблема состоит в расчете закрытых сетей. Для этого мы можем использовать много алгоритмов, среди которых самыми важными являются алгоритмы свертывании и Алгоритм Средней величины ( MVA - Mean Value Algorithm ).