НОУ ИНТУИТ | Основы проектирования реляционных баз данных. Лекция 5: Функциональные зависимости и реляционные базы данных

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 02.08.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 45 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Рассмотрим схему отношения R (город, адрес, почтовый_индекс). В этом случае существуют следующие нетривиальные, т.е. имеющие смысл в контексте предметной области, ФЗ город, адрес -> почтовый_индекс (полный адрес определяет почтовый индекс) и почтовый_индекс -> город (почтовый индекс определяет город, но не адрес). Легко убедиться, что оба множества атрибутов {город, адрес} и {адрес, почтовый_индекс} являются ключами отношения. Какой из них выбрать, решает проектировщик базы данных.

Для того чтобы определить ключи отношений и логические следствия ФЗ для заданной схемы отношения, необходимо вычислить F+ или для заданного F уметь определять, принадлежит ли данная ФЗ его замыканию F+. Для этого необходимо иметь набор правил - операций над ФЗ, позволяющих ими манипулировать.

Набор правил вывода должен быть полным, т.е. давать возможность вывести все зависимости из F⁺, и надежным, т.е. не позволять вывести зависимость из F, не принадлежащую F⁺. Таким образом, правила вывода, называемые также аксиомами вывода функциональных зависимостей, должны позволять вывести множество функциональных зависимостей, присущих рассматриваемой схеме отношения R(A₁, A₂, ..., A_m) на заданном универсальном множестве атрибутов U по заданному множеству ФЗ F = {F₁, F₂, ..., F_k}.

Далее представлены восемь аксиом вывода функциональных зависимостей.

Рефлексивность. Если $X \subseteq U, Y \subseteq U, Y \subseteq X$ , то ФЗ $X \to Y$ следует из F. Иначе $X, X \to X$ .
Пополнение. Если $X \subseteq U, Y \subseteq U, Z \subseteq U$ и задана ФЗ $X \to Y$ из F, то имеет место ФЗ $X \cup Z \to Y \cup Z$ .
Транзитивность. Если $X \subseteq U, Y \subseteq U, Z \subseteq U$ и задана ФЗ $X \to Y, Y \to Z$ из F , то имеет место ФЗ $X \to Z$ .
Расширение. Если $X \subseteq U, Y \subseteq U$ и задана ФЗ $X \to Y$ , то $\forell Z \subseteq U$ имеет место ФЗ $X \cup Z \to Y$ .
Продолжение. Если $X \subseteq U, Y \subseteq U, W \subseteq U, Z \subseteq U$ , и задана ФЗ $X \to Y$ , то $\forall W \subseteq U$ имеет место ФЗ $X \cup Z \to Y \cup W$ .
Псевдотранзитивность. Если $X \subseteq U, Y \subseteq U, W \subseteq U, Z \subseteq U$ , и заданы ФЗ $X \to Y$ и ФЗ $Y \cup W \to Z$ , то имеет место ФЗ $X \cup W \to Z$ .
Аддитивность. Если $X \subseteq U, Y \subseteq U, Z \subseteq U$ , и заданы ФЗ $X \to Y$ и ФЗ $X \to Z$ , то имеет место ФЗ $X \to Y \cup Z$ .
Декомпозиция. Если $X \subseteq U, Y \subseteq U, Z \subseteq U \text{ и } Z \subseteq Y$ , и задана ФЗ $X \to Y$ , то имеет мето ФЗ $X \to Z$ .

Пример. Определение ключа отношения с помощью правил вывода

Используя три первых аксиомы вывода, покажем, что пара атрибутов {адрес, почтовый_индекс} из примера выше являются ключом отношения (город, адрес, почтовый_индекс), иначе имеет место ФЗ адрес, почтовый_индекс -> город, адрес, почтовый_индекс. Задана ФЗ: почтовый_индекс -> город. Используя аксиому пополнения, пополним эту ФЗ атрибутом адрес, получаем адрес, почтовый_индекс -> город, адрес. Задана ФЗ город, адрес -> почтовый_индекс. Используя аксиому пополнения, пополнив эту ФЗ атрибутами город, адрес, получим город, адрес -> город, адрес, почтовый_индекс. Тогда по аксиоме транзитивности получаем адрес, почтовый_индекс -> город, адрес, почтовый_индекс.

Можно доказать утверждение о том, что настоящие правила вывода позволяют по заданному множеству ФЗ F построить все зависимости, допускаемые на U. Таким образом, система правил вывода ФЗ 1-6 является надежной и полной.

Покажем, как можно доказать утверждение о полноте и надежности аксиом вывода. Аксиомы 1, 2 и 3 составляют независимое подмножество среди всех шести аксиом и называются аксиомами Армстронга. Из них можно вывести все остальные аксиомы. Поэтому надежность и полноту достаточно установить только для первых трех аксиом.

Надежность аксиом заключается в том, что если ФЗ $Х \to Y$ выведена из F с помощью этих аксиом, то она справедлива на любом отношении, на котором справедливы ФЗ из F. Аксиома рефлексивности является надежной, так как нельзя иметь отношение R с двумя кортежами, которые совпадают по Х, но не совпадают по некоторому его подмножеству. Для доказательства аксиомы пополнения предположим, что имеется отношение R и справедлива ФЗ $Х \to Y$ на R. Однако есть два кортежа t и s, которые совпадают по атрибутам XZ, но не совпадают по YZ. Поскольку они не могут совпадать по какому-либо атрибуту из Z, то они не должны совпадать по некоторому атрибуту из Y. Тогда они совпадают по X, но не совпадают по Y, что противоречит существованию ФЗ $Х \to Y$ . Надежность аксиомы транзитивности уже была доказана в настоящем учебном элементе ранее.

Для доказательства полноты аксиом вывода введем понятие замыкания множества атрибутов X относительно множества ФЗ F.

Определение 10. Пусть F - множество ФЗ на множестве атрибутов U и $X \subseteq U$ . Тогда замыканием X⁺ множества ФЗ F называется множество атрибутов А, таких, что ФЗ $Х \to A$ может быть выведена из F по аксиомам 1-3.

Нетрудно показать, что ФЗ $Х \to Y$ следует из аксиом 1-3 тогда и только тогда, когда $Y \subseteq X^+$ . По определению замыкания для каждого атрибута из Y выводится ФЗ $Х \to атрибут$ . По аксиоме объединения имеет место ФЗ $Х \to Y$ . Обратно, если выполняется ФЗ $Х \to Y$ , то по аксиоме декомпозиции имеет место ФЗ $Х\to$ каждый атрибут из Y, и, следовательно, имеет место $Y \subseteq X^+$ .

Теперь, для того чтобы показать полноту аксиом 1-3, покажем, что если при заданном F ФЗ $Х \to Y$ не может быть выведена из данных аксиом, то должно существовать такое отношение, в котором справедливы все ФЗ F, кроме ФЗ $Х \to Y$ .

Рассмотрим отношение R с двумя кортежами:

X⁺	другие атрибуты
1 1 … 1	1 1 … 1
1 1 … 1	0 0 … 0

Все зависимости из F справедливы на R. Следует показать, что $Х \to Y$ не удовлетворяется на R. Допустим обратное. Из $X \subseteq Х^+$ следует $Y \subseteq Х^+$ , иначе два кортежа, совпадая по Х, не совпадают по Y. Тогда ФЗ $Х \to Y$ следует из аксиом 1-3, что приводит к противоречию. Таким образом, аксиомы 1-3 полны.

На основе аксиом вывода можно уточнить понятие замыкания множества ФЗ F - F^+ , как наименьшего множества, содержащего F, которое не может быть расширено за F с помощью аксиом 1, 2 и 3. Понятие замыкания является основным при доказательстве приведенного выше утверждения. Оно также важно при определении, имеет ли множество ФЗ F зависимость $Х \to Y$ . Для этого достаточно проверить, принадлежит ли рассматриваемая зависимость множеству F⁺.

Вычисление замыкания конечного множества ФЗ является трудоемкой задачей, так как необходимо перебрать множество всех подмножеств, а таких множеств, как известно, 2ⁿ, где n - число элементов исходного множества. Однако вычислить замыкание X⁺ для данного множества атрибутов несложно. Алгоритм вычисления приведен ниже. Можно показать, что этот алгоритм корректно вычисляет замыкание X⁺.

Алгоритм вычисления X+

Input: U - конечное множество атрибутов, множество ФЗ F на U, множество $X \subseteq U$ . Output: X⁺

Х⁰ есть Х.

Xⁱ⁺¹ есть Xⁱ плюс множество атрибутов А, для которых в F существует ФЗ $Y \to Z, A \subseteq Z, Y \subseteq X^i$ .

Условие завершения. Так как U - конечно и $X = X^0 \subseteq \dots \subseteq X^i \subseteq \dots К \subseteq$ , то существует i, такое, что Xⁱ = Xⁱ⁺¹.

Пример. Вычислим Х⁺

Пусть $F = {AB \to C, C \to A, BC \to D, ACD \to B, D \to EG, BE \to C, CG \to BD, CE \to AG} и X=BD$ .

Находим ФЗ, которые в левой части имеют $B, D, BD - D \to EG$ . Присоединим E и G к X⁰. X¹ = BDEG. Находим ФЗ с левыми частями из $Х^1 - D \to EG, BE \to C. X^2 = BCDEG$ . Находим ФЗ с левыми частями из $Х^2 - C \to A, BC \to D, CG \to BD, CE \to AG. X^3 = ABCDEG$ .

$X^4 = X^3 \dot (BD)^+ = ABCDEG$ .