Описание неопределенностей в теории принятия решений

Одна из ведущих научных школ в области анализа интервальных данных - это школа проф. А.П. Вощинина, активно работающая с конца 70-х годов. В частности, изучены проблемы регрессионного анализа, планирования эксперимента, сравнения альтернатив и принятия решений в условиях интервальной неопределенности.

Рассматриваемое ниже направление отличается нацеленностью на асимптотические результаты, полученные при больших объемах выборок и малых погрешностях измерений, поэтому оно и названо асимптотической статистикой интервальных данных.

Сформулируем сначала основные идеи асимптотической математической статистики интервальных данных. Следует сразу подчеркнуть, что основные идеи достаточно просты, в то время как их проработка в конкретных ситуациях зачастую оказывается достаточно трудоемкой.

Пусть существо реального явления описывается выборкой . В вероятностной теории математической статистики, из которой мы исходим, выборка - это набор n независимых в совокупности одинаково распределенных случайных величин. Однако беспристрастный и тщательный анализ подавляющего большинства реальных задач показывает, что статистику известна отнюдь не выборка , а величины

где , некоторые погрешности измерений, наблюдений, анализов, опытов, исследований (например, инструментальные ошибки).

Одна из причин появления погрешностей - запись результатов наблюдений с конечным числом значащих цифр. Дело в том, что для случайных величин с непрерывными функциями распределения событие, состоящее в попадании хотя бы одного элемента выборки в множество рациональных чисел, согласно правилам теории вероятностей имеет вероятность 0, а такими событиями в теории вероятностей принято пренебрегать. Поэтому при рассуждениях о выборках из обычно используемых распределений (нормального, логарифмически нормального, экспоненциального, равномерного, гамма - распределений, распределения Вейбулла-Гнеденко и т.п.) приходится принимать, что эти распределения имеют элементы исходной выборки , в то время как статистической обработке доступны лишь искаженные значения .

Введем обозначения

Пусть статистические выводы основываются на статистике используемой для оценивания параметров и характеристик распределения, проверки гипотез и решения иных статистических задач. Принципиально важная для статистики интервальных данных идея такова: СТАТИСТИК ЗНАЕТ ТОЛЬКО , НО НЕ .

Очевидно, в статистических выводах необходимо отразить различие между и . Одним из двух основных понятий статистики интервальных данных является понятие нотны.

Определение. Величину максимально возможного (по абсолютной величине) отклонения, вызванного погрешностями наблюдений , известного статистику значения от истинного значения , т.е.

где супремум берется по множеству возможных значений вектора погрешностей (см. ниже), будем называть НОТНОЙ .

Если функция имеет частные производные второго порядка, а ограничения на погрешности имеют вид

( 1)

причем мало, то приращение функции с точностью до бесконечно малых более высокого порядка описывается главным линейным членом, т.е.

Чтобы получить асимптотическое (при ) выражение для нотны, достаточно найти максимум и минимум линейной функции (главного линейного члена) на кубе, заданном неравенствами (1).

Легко видеть, что максимум достигается, если положить

а минимум, отличающийся от максимума только знаком, достигается при . Следовательно, нотна с точностью до бесконечно малых более высокого порядка имеет вид

Это выражение назовем асимптотической нотной.

Условие (1) означает, что исходные данные представляются статистику в виде интервалов (отсюда и название этого научного направления). Ограничения на погрешности могут задаваться разными способами - кроме абсолютных ошибок используются относительные или иные показатели различия между x и y.

Если задана не предельная абсолютная погрешность , а предельная относительная погрешность , т.е. ограничения на погрешности вошедших в выборку результатов измерений имеют вид

то аналогичным образом получаем, что нотна с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, т.е. асимптотическая нотна, имеет вид

При практическом использовании рассматриваемой концепции необходимо провести в расчетных формулах тотальную замену символов x на символы y. В каждом конкретном случае удается показать, что в силу малости погрешностей разность является бесконечно малой более высокого порядка сравнительно с или