Помогите решить задание лекции 3 курс Математическая теория формальных языков |
Дополнительные свойства автоматных языков
4.2*. Локальные языки
Определение 4.2.1. Гомоморфизм называется побуквенным (length-preserving), если |h(a)| = 1 для каждого .
Замечание 4.2.2. Гомоморфизм является побуквенным тогда и только тогда, когда |h(w)| = |w| для каждого слова .
Определение 4.2.3. Язык называется локальным, если существуют такие языки , , , что
- языки L1 и L2 содержат только однобуквенные слова;
- язык L3 содержит только двухбуквенные слова;
- .
Лемма 4.2.4. Каждый локальный язык является автоматным.
Очевидно, что языки L1, L2 и L3 в определении 4.2.3 являются конечными. Остается применить замечание 2.1.19 и теоремы 3.1.1 и 3.2.1 (напомним, что разность языков выражается через пересечение и дополнение).
Теорема 4.2.5. Пусть L - язык над алфавитом и L не содержит пустого слова. Язык L является автоматным тогда и только тогда, когда существуют такие алфавит , локальный язык и побуквенный гомоморфизм , что L = h(L0).
Доказательство. Достаточность следует из леммы 4.2.4 и теоремы 4.1.1.
Для доказательства необходимости рассмотрим конечный автомат с однобуквенными переходами, задающий язык L. В качестве алфавита возьмем множество . Положим
и для каждого .Пример 4.2.6. Пусть . Рассмотрим конечный автомат M2 из примера 3.1.3 и обозначим L = L(M2). Применим конструкцию из доказательства теоремы 4.2.5 к языку L. Для удобства заменим на d, на e и на f. Получим алфавит и локальный язык
Можно доказать, что Побуквенный гомоморфизм h задается равенствами , и . Легко проверить, что действительно L = h(L0).Упражнение 4.2.7. Пусть . Существует ли такой побуквенный гомоморфизм , что h(abc) = bac и h(da) = da?}
Упражнение 4.2.8. Является ли локальным язык
над алфавитом ?Упражнение 4.2.9. Является ли локальным язык
над алфавитом ?Упражнение 4.2.10. Является ли локальным язык
над алфавитом ?4.3. Длины слов в автоматных языках
Определение 4.3.1. Пусть , и . Множество называется заключительно периодическим (ultimately periodic) с периодом m, если выполнено условие
Лемма 4.3.2. Пусть . Тогда равносильны следующие утверждения:
- множество является заключительно периодическим ;
- найдутся такие положительное целое число m и конечные множества и , что
- множество является объединением конечного семейства арифметических прогрессий.
Теорема 4.3.3. Язык L над однобуквенным алфавитом {a} является автоматным тогда и только тогда, когда множество является заключительно периодическим.
Доказательство. Для доказательства необходимости достаточно рассмотреть детерминированный конечный автомат, распознающий язык L.
Теорема 4.3.4. Если язык L является автоматным, то множество является заключительно периодическим.
Доказательство. Рассмотрим конечный автомат, распознающий язык L. Заменим все символы в метках переходов на символ a. Осталось применить теорему 4.3.3 к полученному автоматному языку над однобуквенным алфавитом {a}.
Упражнение 4.3.5. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a}, что язык не является автоматным?
Упражнение 4.3.6. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a}, что язык не является автоматным?
Упражнение 4.3.7. Существует ли такой автоматный язык L1 над алфавитом , что язык
не является автоматным?Упражнение 4.3.8. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a,b}, что язык не является автоматным?
Упражнение 4.3.9. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a,b}, что язык не является автоматным?