НОУ ИНТУИТ | Алгебра матриц и линейные пространства. Лекция 7: Единственность главного ступенчатого вида матрицы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 64 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Изоморфизм линейных пространств

Пусть _K U, _K V - линейные пространства над полем K. Биективное отображение

$f: {}_K U\to {}_K V,$

для которого

$\begin{align*} f(u_1+u_2) &= f(u_1)+f(u_2),\\ f(ku) &= kf(u) \end{align*}$

для всех $u_1,u_2,u\in {}_K U$ , $k\in K$ , называется изоморфизмом линейных пространств _K U и _K V (в этом случае будем говорить, что линейные пространства _K U и _K V изоморфны, обозначение: ${}_K U \cong {}_K V$ ).

Упражнение 9.6.1. Отношение ${}_K U \cong {}_K V$ является отношением эквивалентности.

Лемма 9.6.2. Если $f: {}_K U\to {}_K V$ - изоморфизм линейных пространств, $\dim {}_K U=n$ , {e₁,...,e_n} - базис в _K U, то {f(e₁),...,f(e_n)} - базис в _K V, и поэтому $\dim {}_K V=n=\dim {}_K U$ .

Доказательство.

1) Если $v\in {}_KV$ , то f(u)=v для некоторого $u\in {}_KU$ . Пусть u=k₁e₁+...+k_ne_n, где $k_1,...,k_n\in K$ . Тогда v=f(u)=k₁f(e₁)+...+k_nf(e_n).
Пусть k_1f(e₁)+...+k_nf(e_n)=0 для $k_1,...,k_n\in K$ . Тогда 0=k₁f(e₁)+...+k_nf(e_n)=f(k₁e₁+...+k_ne_n), и поэтому k₁e1₁+...+k_ne_n=0, следовательно, k₁=k₂=...=k_n=0.
Итак, в силу 1) и 2), {f(e₁),...,f(e_n)} - базис линейного пространства _KV.

Лемма 9.6.3. Если $\dim {}_K V=n$ и {e₁,...,e_n} - базис линейного пространства _K V, то, сопоставляя каждому элементу $v=k_1e_1+...+k_ne_n\in {}_K V$ однозначно определенную строчку его координат (k₁,...,k_n) в базисе {e₁,...,e_n}, получаем изоморфизм линейных пространств ${}_K V\cong K^n$ , таким образом, каждое n -мерное линейное пространство _K V над полем K изоморфно линейному пространству строк Kⁿ.

Доказательство. Соответствие

$\Delta: {}_KV \in v=k_1e_1+...+k_ne_n \mapsto (k_1,...,k_n)\in K^n$

является биекцией, для которой

$\begin{align*} & \Delta(v+v') = \Delta((k_1e_1+...+k_ne_n)+(k'_1e_1+...+k'_ne_n))={} \\ & \quad {}=\Delta((k_1+k'_1)e_1+...+(k_n+k'_n)e_n)={} \\ & \quad {}=(k_1+k'_1,...,k_n+k'_n)= (k_1,...,k_n)+(k'_1,...,k'_n)={} \\* & \quad {}=\Delta(v)+\Delta(v'); \\ & \Delta(kv) = \Delta(k(k_1e_1+...+k_ne_n))= \Delta((kk_1)e_1+...+(kk_n)e_n)={} \\ & \quad {}=(kk_1,...,kk_n)=k(k_1,...,k_n)=k\Delta(v). \end{align*}$

Теорема 9.6.4. Конечномерные линейные пространства _K U и _K V изоморфны тогда и только тогда, когда $\dim {}_K U=\dim {}_K V = n$ , и в этом случае ${}_K U\cong K^n \cong {}_K V$ .

Доказательство теоремы следует из лемм 9.6.2 и 9.6.3.

Упражнение 9.6.5. Покажите, что следующие линейные пространства являются бесконечномерными линейными пространствами (это означает, что в них нет базиса из конечного числа элементов):

_R C[0,1] - линейное пространство вещественных непрерывных функций на отрезке [0,1] ;
_K K[x] - линейное пространство многочленов от переменной x с коэффициентами из поля K ;
_K K^N - линейное пространство всех счетных последовательностей (k₁,k₂,...,k_n,...) элементов из поля K.