НОУ ИНТУИТ | Алгебра матриц и линейные пространства. Лекция 5: Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли. Обратная матрица

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 64 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции основное внимание уделено понятию многочленов от матриц, а также рассмотрена теорема Гамильтона-Кэли. Приведены основные понятия, в частности, очень важное определение обратной матрицы. Приведены примеры решения задач, доказаны основные теоремы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли

Пусть K - поле,

$f(t)=a_0+a_1t+...+a_nt^n\in K[t] \text{ -}$

многочлен с коэффициентами из поля K, $A\in M_{n}(K)$ . Тогда определим

$f(A)=a_0E+a_1A+...+a_nA^n\in M_{n}(K),$

где

$E=E_n= \begin{pmatrix} 1 & & \lefteqn{\raisebox{-5pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{-10pt}\Large 0 }}}\\ & \ddots\\ \lefteqn{\raisebox{0pt}[0pt][0pt]{\text{\hspace*{0pt}\Large 0 }}} & & 1 \end{pmatrix} \in M_{n}(K)\text{ -}$

единичная $(n\times n)$ -матрица, т. е.

$f(A)=\sum_{i=0}^{n}a_iA^i,$

здесь A⁰=E.

Пример 8.6.1. Пусть $f(t)=t^2+2t+1=(t+1)^2, g(t)=t+1\in R[t]$ ,

$A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_{2}( R).$

Тогда

$\begin{align*} f(A) &= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 + 2 \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} ={} \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}\\ \biggl( &= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}^2 = \left( \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 = (g(A))^2\biggr). \end{align*}$

Упражнение 8.6.2. Пусть

$A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2}(K)$

и

$\begin{align*} f(\lambda) &= |A-\lambda E| = \begin{vmatrix} a-\lambda & b\\ c & d-\lambda \end{vmatrix} = (a-\lambda)(d-\lambda)-bc ={} \\ &= \lambda^2 -(a+d)\lambda+(ad-bc)\\ ( &= \lambda^2-tr A\lambda +|A|)\text{ -} \end{align*}$

характеристический многочлен матрицы A (здесь tr A=a+d

). Тогда

$\begin{align*} f(A) &= A^2-(a+d)A+(ad-bc)E={} \\ &= \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd\\ ca+dc & cb+d^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} (a+d)a & (a+d)b\\ (a+d)c & (a+d)d \end{pmatrix} +{} \\ & \quad {}+ \begin{pmatrix} ad-bc & 0\\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}$

(т. е. в этом частном случае мы видим, что справедлива теорема Гамильтона Кэли о том, что матрица A является корнем своего характеристического многочлена $f(\lambda)=|A-\lambda E|$ для $(2\times 2)$ -матриц).

Теорема 8.6.3. Пусть K - поле,

$A\in M_{n}(K),$

$\Delta_A: K[t]\to M_{n}(K) \text{ -}$ отображение, для которого $\Delta_A(f(t))=f(A)$ для $f(t)\in K[t]$ . Тогда

$\Delta=\Delta_A$ - гомоморфизм K -алгебр, т. е.
$\begin{align*} \Delta(f+g) &= (f+g)(A) = f(A)+g(A)= \Delta(f)+\Delta(g),\\ \Delta(fg) &= (fg)(A) = f(A)g(A) = \Delta(f)\Delta(g),\\ \Delta(\lambda f) &= (\lambda f)(A) = \lambda f(A) = \lambda\Delta(f) \end{align*}$
для всех $f,g\in K[t]$ , $\lambda\in K$ ;
$\Ker \Delta_A = \{f(t)\in K[t]\mid f(A)=0\}$ - ненулевой идеал кольца K[t].

Доказательство.

Пусть f(t) = a₀+a₁t+...+a_ntⁿ, g(t) = b₀+b₁t+...+b_mt^m, где $a_i,b_j\in K$ , и пусть $\lambda\in K$ . Тогда

а) если $n \geq m$ , то
$(f+g)(A)=\sum_{i=0}^{n}(a_i+b_i)A^i= \sum_{i=0}^{n}a_iA^i+\sum_{i=0}^{m}b_iA^i= f(A)+g(A)$
(здесь b_n=...=b_m+1=0 );

б) если (fg)(t)=c₀+c₁t+...+c_m+nt^m+n, где
$c_k=\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i},$
то
$(fg)(A)=\sum_{k=0}^{m+n}c_k A^k;$
с другой стороны,
$\begin{mult} f(A)g(A)= \biggl(\,\sum_{i=0}^{n}a_iA^i\biggr)\biggl(\,\sum_{j=0}^{m}b_jA^j\biggr)={} \\* {}=\sum_{k=0}^{m+n}\biggl(\,\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-i}\biggr)A^k= \sum_{k=0}^{m+n}c_kA^k, \end{mult}$
т. е. (fg)(A)=f(A)g(A) ;

в)
$(\lambda f)(A) = \sum_{i=0}^{n} (\lambda a_i)A^i = \lambda \biggl(\,\sum_{i=0}^{n}a_i A^i\biggr)= \lambda f(A).$
Если $f(t),g(t)\in Ker \Delta$ , $h(t)\in K[t]$ , $\lambda\in K$ , то f(A)=0, g(A)=0, и поэтому
$\begin{align*} (f+g)(A) &= f(A)+g(A)=0+0=0,\\ (fh)(A) &= f(A)h(A) = 0\cdot h(A)=0,\\ (\lambda f)(A) &= \lambda f(A) = \lambda\cdot 0=0. \end{align*}$
Итак, $\Ker\Delta\lhd K[t]$ (т. е. $Ker \Delta$ - идеал K -алгебры K[t] ).

Так как система матриц
$E,A,A^2,...,A{n^2+1}$
линейно зависима в M_n(K) (поскольку $\dim_K M_{n}(K)=n^2$ ), то найдутся (не все нулевые) элементы $a_0,a_1,...,a_{n^2+1}\in K$ , для которых
$a_0 E+a_1 A+...+a_{n^2+1}A^{n^2+1}=0,$
т. е.
$0\neq f(t)=a_0+a_1t+...+a_{n^2+1}t^{n^2+1}\in\Ker\Delta.$
Итак, $\Ker\Delta\neq 0$ .

Замечание 8.6.4. Более сильное утверждение о том, что

$|A-tE|\in\Ker\Delta,$

является содержанием следующей теоремы. (теорема Гамильтона Кэли, $\deg |A-tE|=n$ ), таким образом, любая квадратная матрица A является корнем своего характеристического многочлена |A-tE|.

Теорема 8.6.5 (теорема Гамильтона—Кэли). Пусть K - поле (или даже коммутативное ассоциативное кольцо с 1 ), $A\in M_n(K)$ , $p(t)=|A-tE|\in K[t]$ - характеристический многочлен квадратной матрицы A, $\deg p(t)=n$ . Тогда

$p(A)=0\in M_n(K).$

Доказательство. Для матрицы

$D=A-tE=(d_{ij})\in M_n(K[t]),$

$d_{ij}\in K[t]$ , рассмотрим присоединенную матрицу

$B=(b_{ij})\in M_n(K[t]),$

$b_{ij}=D_{ji}\in K[t]$ - алгебраическое дополнение элемента d_{ji}. Тогда $\deg(b_{ij}(t)) \leq n-1$ , и поэтому B=B(t)=B₀+tB₁+...+t^n-1B_n-1, где $B_i\in M_n(K)$ . Так как p(t)=|A-tE|=(-1)ⁿtⁿ+c_n-1t^n-1+...+c₁t+c₀, где $c_i\in K$ , i=0,1,...,n-1, $D\cdot B=|D|\cdot E$ , то

$\begin{equation}\label{unuGK} (A-tE)B(t)=p(t)E. \end{equation}$

( 8.1)

Приравнивая матричные коэффициенты при степенях t^k, $0 \leq k \leq n$ , в левой и правой частях этого равенства, получаем:

$\begin{equation}\label{duGK} \begin{alignedat}{2} &t^n: &\quad & -B_{n-1}=(-1)^nE, \\ &t^{n-1}: && A\cdot B_{n-1}-B_{n-2}= c_{n-1}E, \\ &t^{n-2}: && A\cdot B_{n-2}-B_{n-3}= c_{n-2}E, \\ & ... && ... \\ &t: && A\cdot B_1-B_0= c_1E, \\ &t^0: && A\cdot B_0= c_0E. \end{alignedat} \end{equation}$

( 8.2)

Умножая слева равенства (8.2) на Aⁿ,A^n-1,...,A,E соответственно, получаем

$\begin{equation}\label{triGK} \begin{aligned} & \!-A^n\cdot B_{n-1}=(-1)^nA^n, \\ & \,\phm A^n\cdot B_{n-1}-A^{n-1}\cdot B_{n-2}= c_{n-1}A^{n-1}, \\ & \,\phm... \\ & \,\phm A^2\cdot B_1-A\cdot B_0= c_1A, \\ & \,\phm A\cdot B_0= c_0E. \end{aligned} \end{equation}$

( 8.3)

Складывая равенства (8.2), получаем

$M_n(K)\ni 0=p(A).$

Замечание 8.6.6. Отметим, что равенства (8.2) показывают, что матрицы B₀,B₁,...,B_n-1 являются многочленами от матрицы A, в частности, B_iA=AB_i, i=0,1,...,n-1. Поэтому можно было подставить в (8.1) вместо переменной t матрицу A, и тогда

$\begin{mult} M_n(K)\ni 0=(A-AE)(B_0+AB_1+...+A^{n-1}B_{n-1})={} \\ {}\stackrel{(8.1)}{=} p(A)\cdot E=p(A). \end{mult}$

Замечание 8.6.7. Очевидное равенство $|A-AE|=0\in K$ не является доказательством теоремы Гамильтона Кэли.

Упражнение 8.6.8. Аннулирующий многочлен минимальной степени $\varphi_A(t)$ жордановой клетки r -го порядка

$A= \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & ... & 0\\ 0 & \lambda & 1 & ... & 0\\ 0 & 0 & \lambda & ... & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & ... & \lambda \end{pmatrix}$