Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 06.11.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 3337 / 1210 | Оценка: 4.24 / 3.67 | Длительность: 14:37:00
Специальности: Математик
Лекция 2:

Основные понятия теории вероятностей

< Лекция 1 || Лекция 2: 12 || Лекция 3 >
Аннотация: Введение. Опыт с равновероятными исходами. Закон сложения вероятностей. Условные вероятности. Общая теоретико-вероятностная схема.

Введение

Теория вероятностей изучает объективные закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Значительная часть содержащихся в лекциях сведений дается в рамках вполне конкретных задач и примеров. Методам данной теории отведено три лекции.

Опыт с равновероятными исходами

Рассмотрим такой простой опыт, как бросание монеты. Он имеет два взаимно исключающих исхода: выпадение "орла" и выпадение "решки". Рассмотрим некоторый опыт с конечным числом взаимно исключающих друг друга исходов, которые равноправны по отношению к условию данного опыта, то есть равновероятны. Обозначим как A некоторое событие, связанное с указанными исходами.

Вероятность

P(A)=\frac{N(A)}{N} ( 2.1)
,

где N — общее число исходов рассматриваемого опыта, N(A) — число тех из них, которые приводят к наступлению события A. Например, при бросании монеты имеется 2 взаимно исключающих равновероятных исхода (выпадение "орла" и выпадение "решки"), и если A — любое из этих событий, то вероятность P(A) = 1, поскольку N(A)=2.

Накопленные практикой многочисленные наблюдения выявили одну замечательную закономерность, которая позволяет придать глубокий смысл понятию вероятности как в рассмотренном выше опыте с равновероятными исходами, так и в самом общем случае. А именно: предположим, что рассматриваемый опыт, явление и тому подобное могут быть воспроизведены многократно. Так что, в принципе, осуществима целая серия одинаковых и независимых друг от друга испытаний, в каждом из которых по воле случая происходит или не происходит интересующее наблюдателя событие A. Пусть n обозначает число всех опытов в отдельной серии испытаний и n (A) — число тех из них, в которых осуществляется событие A. Отношение \frac{n(A)}{n} называется частотой события A в данной серии испытаний. Оказывается, в различных сериях испытаний соответствующие частоты \frac{n(A)}{n} при больших n практически совпадают. И P (A) приблизительно равно \frac{n(A)}{n}.

Формально это нужно понимать следующим образом:

P(A)=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n(A)}{n} ( 2.2)
.

Согласно этой эмпирически установленной закономерности вероятность P(A) события A характеризует долю тех случаев в большой серии опытов, которые приводят к наступлению события.

При подсчете вероятностей большую пользу оказывают комбинаторные формулы. Приведем наиболее важные из них.

Закон сложения вероятностей

Предположим, что в результате рассматриваемого опыта или явления происходит один из взаимно исключающих друг друга исходов, которые будем обозначать греческой буквой \omega и называть элементарными событиями или элементарными исходами.

Будем говорить, что событие A связано с рассматриваемым опытом (или с элементарными исходами \omega ), если по каждому элементарному исходу \omega можно точно судить о том, осуществляется или нет данное событие A. Обозначим тем же символом A совокупность (иначе множество) всех элементарных исходов \omega, в результате которых наступает событие A. Очевидно, событие A происходит тогда и только тогда, когда наступает один из элементарных исходов \omega, входящих в указанную совокупность A. Вместо того чтобы говорить об исходном событии A, можно говорить лишь о событии "наступает элементарный исход \omega, входящий в совокупность A ".

События A_{1} и A_{2} называют равными ( A_{1}=A_{2} ), если осуществление события A_{1} влечет за собой осуществление события A_{2} и наоборот, осуществление A_{2} влечет за собой осуществление события A_{1}.

События A_{1} и A_{2} называются несовместными или непересекающимися, если наступление одного из этих событий исключает возможность наступления другого, иначе говоря, A_{1} и A_{2} не могут произойти одновременно.

Объединением или суммой событий A_{1} и A_{2} называется событие A, которое означает осуществление хотя бы одного из событий A_{1}, A_{2}: A= A_{1} \cup A_{2} где \cupспециальный символ объединения. Аналогично определяется объединение событий A_{1},A_{2},..., обозначаемое как A=\mathop{\cup}\limits_k A_k.

Пересечением или произведением событий A_{1} и A_{2} называется событие A, которое означает осуществление и события A_{1}, и события A_{2}: A= A_{1} \cap A_{2}, где \capспециальный символ пересечения. Аналогично определяется произведение событий A_{1},A_{2},..., обозначаемое как A=\mathop{\cap}\limits_k A_k.

Разностью событий A_{1} и A_{2} называется событие A, которое означает, что происходит событие A_{1}, но не происходит событие A_{2}: A = A_1 \setminus A_2. Дополнительным к событию A называется событие \bar A, которое означает, что событие A не происходит: \bar A= \Omega \setminus A_2.

Рассмотрим несовместные события A_{1} и A_{2}. Представим себе, что проводится серия одинаковых и независимых между собой опытов, результатом каждого из которых могут быть указанные события A, A_1 и A_2. Пусть n — число всех испытаний, n(A),n(A_1),n(A_2) — число тех из них, которые привели к наступлению соответствующих событий A, A_1 и A_2. Если в каком-то опыте произошло событие A, то это значит, A_2 (одновременно A_1 и A_2 произойти не могут, так как по условию они являются несовместимыми). Поэтому числа n(A),n(A_1),n(A_2) связаны между собой следующим равенством:

n(A) = n(A_1) + N(A_2).

Следовательно, частоты рассматриваемых событий таковы, что

\frac{n(A)}{n}=\frac{n(A_1)}{n}+\frac{n(A_2)}{n}.

При достаточно большом числе испытаний частоты практически совпадают с соответствующими вероятностями, так что вероятности рассматриваемых событий A=A_1\cup A_2, A_1 и A_2 должны быть связаны между собой следующим равенством:

P(A)=P(A_1)+P(A_2).

Полученное равенство является выражением так называемого закона сложения вероятностей , согласно которому для любых непересекающихся событий A_1,A_2,... вероятность их объединения \mathop{\cup}\limits_k A_k есть

P(\mathop{\cup}\limits_k A_k)=\sum\limits_kP(A_k) ( 2.3)
.

< Лекция 1 || Лекция 2: 12 || Лекция 3 >
Данил Комардин
Данил Комардин

мне задали дистанционное задание на сертификат,но я не могу его найти