Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3056 / 533 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 16:

Теория трансверсалей

< Лекция 15 || Лекция 16: 123 || Лекция 17 >

Приложение теории трансверсалей

Используются понятия трансверсалей, на основании чего доказывается теорема о модификации латинского прямоугольника. Вводятся определения (0,1) -матрицы, формулируются и доказываются теоремы Кенига-Эгервари и об общей трансверсали.

Теорема Пусть M латинский m\times n -прямоугольник, причем, m < n ; тогда M можно расширить до латинского квадрата добавлением n-m новых строк.

Доказательство Докажем, что M можно расширить до латинского (m+1)\times n -прямоугольника; повторяя эту процедуру, мы придем к латинскому квадрату.

Пусть E=\{1,2\dts n\} и \varphi =(S_{1}\dts
S_{n}), где через S_{i} обозначено множество, состоящее из тех элементов множества E, которые не встречаются в i -м столбце матрицы M. Если мы сможем доказать, что \varphi имеет трансверсаль, то тем самым мы докажем теорему, поскольку элементы этой трансверсали и образуют дополнительную строку. По теореме Холла достаточно доказать, что объединение любых k множеств S_{i} содержит по меньшей мере k различных элементов. А это очевидно, ибо любое такое объединение содержит (n-m)\times k элементов (включая повторения), значит, по крайней мере, один из них повторялся бы более чем n-m раз, что невозможно.

Определение (0,1) матрицы или матрицы инциденций. Другой подход к изучению трансверсалей семейства \varphi =(S_{1} \dts
S_{m} ) непустых подмножеств множества E=\{ e_{1} \dts e_{n} \}
состоит в исследовании (m \times
n) -матрицы A=(a_{ij}), в которой a_{ij} =1, если e_{j} \in S_{i}, и a_{ij}=0 в противном случае. (Любую такую матрицу, все элементы которой равны 0 или 1, мы называем (0,1) -матрицей) этого семейства.

Определение словарного ранга. Назовем словарным рангом матрицы A наибольшее число единиц в A, никакие две из которых не лежат в одной и той же строке или в одном и том же столбце. Тогда \varphi имеет трансверсаль в том и только в том случае, если словарный ранг матрицы A равен m. Более того, словарный ранг матрицы A равен в точности числу элементов частичной трансверсали, обладающей наибольшей возможной мощностью. В качестве второго приложения теоремы Холла рассмотрим известный результат о (0,1) -матрицах, называемой теоремой Кенига-Эгервари.

Теорема (Кенига-Эгервари, 1931) Словарный ранг (0,1) -матрицы A равен минимальному числу \mu строк и столбцов, которые в совокупности содержат все единицы из A.

Замечание В качестве иллюстрации этой теоремы рассмотрим матрицу

\begin{aligned} & \,\,\,\,\,\begin{matrix} e_{1}\,\,
& e_{2}\,\, & e_{3}\,\, & e_{4}\,\, & e_{5}\,\, & e_{6}
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
S_1 \\
S_2 \\
S_3 \\
S_4 \\
S_5 \\
\end{matrix} & \left(
\begin{matrix}
1\phantom{1} & 1\phantom{1} &
0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1}\\
1\phantom{1} & 1 & 0\phantom{1}
& 0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1}\\
0\phantom{1} & 1\phantom{1} & 1\phantom{1} & 0\phantom{1} &
0\phantom{1} & 0\phantom{1}\\
0\phantom{1} & 1\phantom{1} & 1\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1} &
0\phantom{1}\\
1\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 1\phantom{1} & 1\phantom{1} & 1\phantom{1}
\end{matrix}
\right)\!,
\end{aligned}
которая является матрицей семейства \varphi
=(S_{1} \dts S_{5}). Ясно, что и ее словарный ранг, и число \mu равны четырем.

< Лекция 15 || Лекция 16: 123 || Лекция 17 >
Никита Толышев
Никита Толышев
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!