Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 2990 / 492 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 15:

Паросочетания и свадьбы

< Лекция 14 || Лекция 15: 123 || Лекция 16 >

Поразительно, что это очевидное необходимое условие является в то же время и достаточным. В этом и состоит теорема Холла о свадьбах ; ввиду ее важности мы приведем три доказательства. Первое из них принадлежит Халмошу и Вогену.

Теорема (Ф. Холл, 1935) Решение задачи о свадьбах существует тогда и только тогда, если любые k юношей из данного множества знакомы в совокупности по меньшей мере с k девушками (1\le k\le m).

Доказательство Как было отмечено выше, необходимость условия очевидна. Для доказательства достаточности воспользуемся индукцией и допустим, что утверждение справедливо, если число юношей меньше m. (Ясно, что при m=1 теорема верна.) Предположим теперь, что число юношей равно m, и рассмотрим два возможных случая.

(i) Сначала будем считать, что любые k юношей (1\le k\le
m ) в совокупности знакомы по меньшей мере с k+1 девушками (т.e. что наше условие всегда выполняется "с одной лишней девушкой"). Тогда, если взять любого юношу и женить его на любой знакомой ему девушке, для других m-1 юношей останется верным первоначальное условие. По предположению индукции мы можем женить этих m-1 юношей; тем самым доказательство в первом случае завершено.

(ii) Предположим теперь, что имеются k юношей (k<m), которые в совокупности знакомы ровно с k девушками. По индуктивному предположению этих k юношей можно женить. Остаются еще m-k юношей, но любые h из них (1\le h\le m-k) должны быть знакомы, по меньшей мере, с h девушками из оставшихся, поскольку в противном случае эти h юношей вместе с уже выбранными k юношами будут знакомы меньше, чем с h+k девушками, а это противоречит нашему предположению. Следовательно, для этих m-k юношей выполнено первоначальное условие, и по предположению индукции мы можем их женить так, чтобы каждый был счастлив. Доказательство теоремы закончено.

Теорему Холла можно также сформулировать на языке паросочетаний в двудольном графе; число элементов множества S обозначается через \left|S\right|.

Следствие Пусть G=G(V_{1}
,V_{2})двудольный граф, и для любого подмножества A множества V_{1} пусть \varphi (A) — множество тех вершин из V_{2}, которые смежны, по крайней мере, с одной вершиной из A. Тогда совершенное паросочетание из V_{1} в V_{2} существует в том и только в том случае, если \left|A\right|\le \left|\varphi (A)\right| для каждого подмножества A из V_{1}.

Доказательство Доказательство этого следствия является просто переводом изложенного выше доказательства на языке теории графов.

< Лекция 14 || Лекция 15: 123 || Лекция 16 >
Никита Толышев
Никита Толышев
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!