Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 25.07.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 3056 / 533 | Оценка: 4.21 / 3.83 | Длительность: 11:03:00
ISBN: 978-5-9556-0069-7
Специальности: Программист, Математик
Лекция 5:

Гамильтоновы графы

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >

Пример.


Такие графы называют "тэта графами", поскольку они похожи на греческую букву \theta ("тета"). По рисунку видно, что в таком графе не удается выделить простой цикл, содержащий все вершины.

Выведем еще два достаточных признака гамильтоновых графов.

Рассмотрим граф G с m\ge3 вершинами. Пронумеруем их произвольным образом и выпишем их последовательность:

\eq{ v_{0},v_{1},v_{2} \dts
v_{i-1}, v_{i}, v_{i+1} \dts v_{m-1}. } ( 5.1)

При этом может случиться, что некоторые две соседние вершины, например, v_{k} и v_{k+1}, не связаны ребром. Будем говорить, что в данной последовательности имеется "разрыв" между вершинами v_{k} и v_{k+1}.

Очевидно, в последовательности v_{1},v_{2}\dts v_{i-1},v_{i} не возникнут другие разрывы, если ее записать в обратном порядке, а именно: v_{i},v_{i-1} ,\ldots, v_{2},v_{1}.

Пусть для определенности разрыв в последовательности (5.1) имеет место между вершинами v_{0} и v_{1}. Положим теперь, что v_{i}вершина графа G, связанная ребром с v_{0}. Число таких вершин v_{i} равно \rho(v_{0}).

Пытаясь ликвидировать разрыв в последовательности (5.1) между v_{0} и v_{1}, запишем ее в измененном порядке:

\eq{
v_{0},v_{i},v_{i-1} \dts
v_{2},v_{1},v_{i+1} \dts v_{m-1} }. ( 5.2)

При этом число разрывов уменьшится на единицу в том случае, если между вершинами v_{1} и v_{i+1} не возникнет новый разрыв.

Вершину v_{i} среди m-1 вершин, не совпадающих с v_{0}, можно всегда найти, так, чтобы между v_{1} и v_{i+1} не возник новый разрыв, если справедливо неравенство

\rho (v_{0} ) \ge (m-1)-\rho (v_{1})
}

(справа в этом неравенстве читаем число разрывов, которые могут произойти при всевозможных перестановках последовательности (5.1)).

Но вершины v_{0} и v_{1} были выбраны произвольно; можно было рассмотреть разрыв между другими соседними вершинами v_{k} и v_{k+1} в последовательности (5.1), можно было даже выбрать вершины v_{u} и v_{v} графа G, не стоящие рядом в последовательности (5.1). Лишь бы соблюдалось неравенство

\eq{ \rho (v_{u}) \ge (m-1)- \rho(v_{v}) }. ( 5.3)

Заметим, что неравенство (5.3) симметрично относительно v_{u} и v_{v}. Его можно записать в виде

\eq{ \rho (v_{u})+\rho(v_{v})\ge m-1. } ( 5.4)

И тогда в последовательности (5.1) удастся ликвидировать все разрывы. А это означает, что в графе G найдется гамильтонов путь.

Покажем, что если для любой пары вершин v_{u} и v_{v} графа G с m вершинами справедливо неравенство

\eq{ \rho (v_{u} )+\rho
(v_{v}
)\ge m, } ( 5.5)

то граф G обладает гамильтоновым циклом. Это один из достаточных признаков того, что данный граф является гамильтоновым.

Рассмотрим гамильтонов путь, связывающий вершины v_{u} и v_{v} графа G.

Пример.


Пусть x — одна из вершин графа G, связанная ребром с вершиной v_{u}. Тогда в силу неравенства (5.5), хотя бы для одной из таких вершин x найдется в гамильтоновом пути смежная с ней вершина v_{w}, такая, которая связана ребром с v_{v}.

Добавляя к гамильтонову пути ребра (v_{u},x), (v_{w},v_{v}) и выбрасывая из него ребро (v_{w},x), получаем гамильтонов цикл, что и требовалось.

Теперь, как следствие, получаем еще один достаточный признак того, что данный граф является гамильтоновым.

Формулируется этот признак так:

Граф G с m вершинами имеет гамильтонов цикл, если для произвольной его вершины

\eq{
\begin{gathered}
v_{i}\ (i=0,1 \dts m-1) \\
{\rho (v_{i} )\ge \frac{m}{2} }.
\end{gathered}
} ( 5.6)

Хотя этот признак проще, чем предыдущий (при его использовании приходится меньше считать), он позволяет распознать более узкий класс гамильтоновых графов.

Проведенное доказательство справедливости достаточных признаков гамильтоновых графов было косвенным — мы не строили для данного произвольного графа, удовлетворяющего неравенству (5.5) или неравенству (5.6), гамильтоновых циклов.

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Никита Толышев
Никита Толышев
Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!