Опубликован: 19.01.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 3199 / 439 | Оценка: 4.28 / 4.00 | Длительность: 26:16:00
ISBN: 978-5-9963-0242-0
Специальности: Математик
Лекция 12:

Простые числа

12.4. Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках (CRT — Chinese Reminder Theorem) используется, чтобы решить множество уравнений с одной переменной, но различными взаимно простыми модулями, как это показано ниже:

\tt\parindent0pt

x \equiv  a_{1} (mod\ m_{1})

x \equiv  a_{2} (mod\ m_{2})

…

x \equiv  a_{k} (mod\ m_{k})

Китайская теорема об остатках утверждает, что вышеупомянутые уравнения имеют единственное решение, если модули являются взаимно простыми.

Пример 12.35

Следующий пример содержит систему уравнений с различными модулями:

\tt\parindent0pt

$x \equiv  2(mod\ 3)$

$x \equiv  3(mod\ 5)$

$x \equiv  2(mod\ 7)$

Для этой системы уравнений x = 23. Это значение удовлетворяет все уравнения: 23 \equiv 2\left( {\bmod 3} \right), 23 \equiv 3\left( {\bmod 5} \right)
, 23 \equiv 2\left( {\bmod 7} \right).

Решение

Решение системы уравнений выполняется в следующем порядке:

  1. Найти M = {m_1} \times {m_2} \times  \ldots  \times {m_k}. Это общий модуль.
  2. Найти M1 = M/m1, M2 = M/m2,…., Mk = M/mk.
  3. Используя соответствующие модули m1, m2,…., mk, найти мультипликативную инверсию M1, M2,…, Mk. Обозначим ее M1-1, M2-1,…, Mk-1.
  4. Решение системы уравнений

x = (a_{1} \times  M_{1} \times  M_{1}^{-1} + a_{2} \times  M_{2} \times  M_{2}^{-1}+\dots+ a_{k} \times  M_{k} \times  M_{k}^{-1}) \mod\ M

Обратите внимание, что система уравнений может иметь решение, даже если модули не взаимно простые. Однако в криптографии мы интересуемся только решением уравнений с взаимно простыми модулями.

Пример 12.36

Найдите решение системы уравнений

\tt\parindent0pt

$x \equiv  2(mod\ 3)$

$x \equiv  3(mod\ 5)$

$x \equiv  2(mod\ 7)$

Из предыдущего примера мы уже знаем, что ответ x = 23. Определим его в четыре шага.

Решение

  1. M = 3 \times 5 \times 7 = 105
  2. M1 = 105/3 = 35, M2 = 105/5 =21, M3 = 105/7 = 15
  3. Инверсии M1-1 = 2, M2-1 = 1, M3-1 = 1
  4. x = 2 \times 35 \times 2 + 3 \times 21 \times 1 + 2 \times 15 \times 1 = 23\bmod 105

Пример 12.37

Найти целое, которое дает в остатке 3, если его разделить на 7 и 13, но без остатка делится на 12.

Решение

Это проблема китайской теоремы об остатке. Мы можем составить три уравнения и найти значение x.

\tt\parindent0pt

$x \equiv  3(mod\ 7)$

$x \equiv  3(mod\ 13)$

$x \equiv  0(mod\ 12)$

Если проведем четыре шага, мы найдем x = 276. Можем проверить, что 276 = 3 mod 7, 276 = 3 mod 13 и 276 делится на 12 (частное 23 и остаток 0).

Приложения

Китайская теорема об остатках часто применяется в криптографии. Одно из таких применений – решение квадратных уравнений — будет обсуждаться в следующей секции. Другое приложение — представление очень большого числа в виде списка малых целых чисел.

Пример 12.38

Предположим, нам надо вычислить z = x + y, где x = 123 и y = 334, но система принимает только числа меньше 100. Эти числа можно представить следующими уравнениями:

\tt\parindent0pt

$x \equiv  24(mod\ 99)  \ \ \      y \equiv  37(mod\ 99)\ \ \  x \equiv  25(mod\ 98)$

$y \equiv  40(mod\ 98)\ \ \ x \equiv  26(mod\ 97)    \ \ \    y \equiv  43(mod\ 97)$

Сложим каждое уравнение x с соответствующим уравнением y:

\tt\parindent0pt

$x + y \equiv  61(mod\ 99) \to 	z \equiv  61(mod\ 99)x + y \equiv  65(mod\ 98) \to$

$z \equiv  65(mod\ 98)x + y \equiv  69(mod\ 97) \to 	z \equiv  69(mod\ 97)$

Теперь эти три уравнения могут быть решены, используя китайскую теорему об остатках, чтобы найти z. Один из приемлемых ответов равен z = 457.

Наталья Шульга
Наталья Шульга

Курс "информационная безопасность" .

Можно ли на него записаться на ПЕРЕПОДГОТОВКУ по данному курсу? Выдается ли диплом в бумажном варианте и высылается ли он по почте?

Дмитрий Плешаков
Дмитрий Плешаков

Здравствуйте. На данныйц момент я изучаю курс Математика криптографии и теория шифрования. Стоимость обучения на данном курсе указана 1 руб., но, при этом доступ к лекциям указан платный. Не могли бы Вы прояснить данный момент, и, если доступ платный, какова стоимость лекций и общая стоимость курса.

Заранее благодарен.