Опубликован: 05.06.2018 | Доступ: свободный | Студентов: 537 / 106 | Длительность: 07:59:00
Лекция 3:

Минимизация логических функций

Метод непосредственных преобразований логических функций заключается в том, что логическая функция подвергается упрощению непосредственно с помощью аксиом и теорем алгебры логики.

Некоторые из таких эквивалентностей мы рассматривали выше. Например, правила де Моргана, склеивания, поглощения. Первое из указанных правил, обычно используется для приведения функции к виду, удобному для последующих преобразований. Операции склеивания и поглощения в явном виде позволяют уменьшить количество символов в выражении.

Однако этот метод обладает существенными недостатками:

  • как правило, такие преобразования требуют громоздких выкладок;
  • процесс упрощения логической функции не является алгоритмическим; во многом он зависит от мастерства и опыта разработчика;
  • и, самое главное, результат преобразования не гарантирует получения минимальной формы дизъюнктивной или конъюнктивной ФАЛ.

Отметим, что получение минимальной формы в своей основе содержит совершенную (дизъюнктивную или конъюнктивную) нормальную форму

Приведение дизъюнктивной (или конъюнктивной) формы записи ФАЛ к совершенному виду проходит на основе формул (1.1) и (1.2), только правые и левые их части целесообразно поменять местами (в этом случае данные формулы обычно называются операциями развертывания). Тогда ДНФ, в которой не все члены являются элементарными конъюнкциями, приводится к СДНФ следующим образом.

Пусть некоторая ДНФ имеет следующий вид:

f(x,y,z) =xyz\vee\overline{x}\overline{z}\vee z

Так как а = (а \And b) \vee (а \And \overline{b}), то исходную функцию можно представить как

f(x,y,z) = xyz \vee \overline{x} \overline{z} (y \vee \overline{y}) \vee (x \vee \overline{x}) \And z = xyz\vee\overline{x}y\overline{z}\vee\overline{x}\overline{y}\overline{z}\vee xz\And (y\vee\overline{y}) \vee\overline{x}z\And (y\vee\overline{y}) =
= xyz \vee\overline{x}y\overline{z}\vee\overline{x}\overline{y}\overline{z}\vee xyz\vee x\overline{y}z\vee\overline{x}yz\vee\overline{x}\overline{y}z

Убирая повторяющиеся члены, чего требует запись функции в совершенном виде, на основе свойства дизъюнкции a V a V ... V a = a, получим:

f(x,y,z)_{СДНФ} = xyz\vee\overline{x}y\overline{z}\vee\overline{x}\overline{y}\overline{z}\vee x\overline{y}z\vee\overline{x}yz\vee\overline{x}\overline{y}\overline{z}