Опубликован: 26.10.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 404 / 17 | Длительность: 08:16:00
Специальности: Менеджер, Экономист
Лекция 3:

Рынок как система с явными потерями

3.2. Дифференциальные уравнения Эрланга

Введём понятия макросостояния группы потребителей. Сообщество из v групп потребителей может иметь одно микросостояние из набора (\nu+1) состояний:

x_0 - свободны все группы потребителей;

x_1 - занята ровно одна группа потребителей ;

x_i - занято ровно i групп потребителей;

x_v - заняты все v потребителей

Диаграмма состояний и переходов показана на рисунке 3.3:

Вероятность того, что система в момент времени t находится в состоянии x_i обозначим P_i(t) ; i=0,1,2 ,... , \nu.

Так как все возможные состояния представляют собой полную группу

событий, то для любого момента t:

\sum_{i=0}^{\nu} P_i(t)=1

I. Запишем дифференциальное уравнение для P_0(t).

Рассмотрим отрезок (рис. 3.3) времени [t , t+\Delta t ) :

Диаграмма процесса гибели и размножения

Рис. 3.3. Диаграмма процесса гибели и размножения
Отрезок времени

Рис. 3.4. Отрезок времени

F_1 (\Delta t)= P(z < \Delta t) =1 - e^{-\lambda \cdot \Delta t} + O(\Delta t) - вероятность того, что за время \Delta t поступит партия товаров;

1-F_1(\Delta t)=e^{-\lambda \cdot \Delta t}=1-\lambda \cdot \Delta t +O(\Delta t) - вероятность того, что за время \Delta t партия товаров не поступит;

F_2(\Delta t)=P(t_{потр}< \Delta t)=1-e^{-\beta \cdot \Delta t} =\beta \cdot \Delta t +0(\Delta t) - вероятность того, что за время \Delta t группа потребителей освободится;

1-F_2(\Delta t)=e^{-\beta \cdot \Delta t }=1-\beta \cdot \Delta t +0(\Delta t ) - вероятность того, что за время \Delta t группа потребителей не освободится.

Найдём вероятность того, что в момент t+\Delta t система будет находиться

в состоянии x_0 ( все группы потребителей свободны) -

P_0(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{\nu}P_{j_0}(t) ( 3.3)

Это может произойти двумя способами (число стрелок в x_0 - две):

Первый вариант (I) - в момент t система находилась в состоянии x_0 , и за время \Delta t не поступило ни одного вызова (система не перешла в состояние x_1);

Bторой вариант (II) - в момент t система находилась в состоянии x_1 , и за время \Delta t группа потребителей освободилась, и система перешла в состояние x_0 (рис. 3.5) .

Состояния системы  x0

Рис. 3.5. Состояния системы x0

Возможностью перехода рынка из x_2 в x_0 (одновременно освободилось две группы потребителей) при малом \Delta t можно пренебречь, так как поток

освобождений ординарный, то есть

P_0(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{1}P_{j_0}(t)

По теореме сложения вероятностей:

P_0 (t+\Delta t) \approx P (I) +P(II) ( 3.4)

P(I) найдём по теореме умножения. Вероятность того, что в момент t рынок был в состоянии x_0 , равна P_0 (t). Вероятность того, что за время \Delta t не придёт ни одной партии товара, равна e^{-lambda \cdot t} \approx 1-\lambda \cdot t.

Так как F_1(\Delta t)=P(z_i < t)=1-e^{-\lambda \cdot t}, отсюда:

P(z_i \geq \Delta t)=1-(1-e ^{-\lambda \cdot t })=e^{-\lambda \cdot t }

Вспомним ряд Маклорена - e^x = x_00!+x_11!+x_ 22!+... .

С точностью до величины высшего порядка малости - e^{-\lambda \cdot t } \approx 1-\lambda \cdot \Delta t.

Следовательно, P(I) \approx P_0 (t)\cdot (1-\lambda \cdot \Delta t).

Найдём P(II). Вероятность того, что в момент t система была в состоянии x _1 , равна P_1 (t). Вероятность того, что за время \Delta t одна линия освободится, равна F_2 (\Delta t)=P(t_{потреб} <\Delta t)=1-e^{-\beta \cdot \Delta t} \approx \beta \cdot \Delta t.

С точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости,

чем \Delta t: 1-e^{-\beta \cdot \Delta t} \approx 1-(1-\beta \cdot \Delta t) \approx \beta \cdot \Delta t

Следовательно, P(II)=P_1 (t) \cdot \beta \cdot \Delta t.

Подставляя вместо P(I) и P(II) их значения, получим:

\frac {P_0 (t+\Delta t) -P_0(t)}{\Delta t} \approx = -\lambda \cdot P_0 (t) + \beta \cdot P_1(t)

Переходя к пределу при \Delta t \rightarr \infty, получим:

\frac {dP_0 (t)}{dt} \approx -\lambda \cdot P_0 (t)+\beta \cdot P_(1)(t) ( 3.5)

Аналогичные дифференциальные уравнения составим и для других

вероятностей состояний.

I.Возьмём любое i (0<i<\nu) и найдём вероятность P_i (t+\Delta t) того, что в момент t+\Delta t система будет в состоянии x_I (рис. 3.6)

Система находится в состоянии xi

Рис. 3.6. Система находится в состоянии xi

Вообще P_i(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{\nu} P_{ji}(t).

Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы трёх событий (по числу стрелок, направленных в x_i ):

P_i(t+\Delta t) \approx P(I)+P(II)+P(III)

Событие I - в момент t рынок был в состоянии x_i, а за время \Delta t не

перешла из него ни в x_{i+1} , ни в x_{i-1} (ни одна партия товара не поступила и ни одна из i групп потребителей не освободилась);

Событие II - в момент t рынок был в состоянии x_{i-1} (заняты i-1 группа потребителей), а за время \Delta t перешёл в состояние x_i (поступил одна группа товаров);

III - в момент t рынок был в состоянии x_i+1 (занята i+1 группа потребителей)

а за время \Delta t одна группа потребителей освободилась.

То есть P_i(t+\Delta t)= \sum_{j=0}^{\nu} P_{ji}(t)

Найдём P (I) . Вероятность того, что за время \Delta t не поступит ни одной партии товаров и не освободится ни одна группа потребителей, равна:

e^{-\lambda \cdot \Delta t}\cdot (e^{-\beta \cdot \Delta t})^i=e^{-(\lambda+i\cdot \beta) \cdot \Delta t},

где e^{-\beta \cdot \Delta t} - вероятность того, что не освободятся группы потребителей с первой по i-ю.

Пренебрегая малыми величинами высших порядков, имеем:

e^{-(\lambda+i\cdot \beta)}\cdot \Delta t \approx 1-(\lambda+i\cdot \beta)\cdot \Delta t

Таким образом: P(I)=P_i (t)\cdot [1-(\lambda+i\cdot \beta)\cdot \Delta t]

Найдём P (II). Вероятность поступления одного одной партии товара за \Delta t равна:

1-e^{-\lambda \cdot \Delta t}\approx 1-(1-\lambda \cdot \Delta t)\approx \lambda \cdot \Delta t

Следовательно:

P (II)=P_{i-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t

Найдём P(III). Вероятность освобождения за время \Delta t одной из (i+1) занятых групп потребителей (или первая, или вторая, … или (i+1)-я):

(i+1)\cdot (1-e^{-\beta \cdot \Delta t})\approx (i+1)\cdot (1-1+\beta \cdot \Delta t)\approx (i+1)\cdot \beta \cdot \Delta t

Следовательно:

P (III)\approx P_{i+1}(t)\cdot (i+1)\cdot \beta \cdot \Delta t

Подставляя значения P(I), P(II) и P(III), получим:

P_i (t+\Delta t)=P_i (t)\cdot [1-(\lambda +i\cdot \beta)\cdot \Delta t]+P_{i-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t+P_{i+1}(t)\cdot (i+1)\cdot \beta \cdot \Delta t

Перенесём P_i(t) в левую часть, разделим на \Delta t и, переходя к пределу, получим дифференциальное уравнение для P_i(t) при 0<i<\nu :

\frac{dP_i(t)}{dt}=-\lambda \cdot P_{i-1}(t)-(\lambda + I \cdot \beta)P_i(t)+(i+1)\cdot \beta \cdot P_{i+1}(t) ( 3.6)

III. Составим уравнение для последней вероятности P_{\nu} (t) - это вероятность того, что все \nu групп потребителей будут заняты (рис. 3.7).

Состояние системы, когда заняты все группы потребления

Рис. 3.7. Состояние системы, когда заняты все группы потребления

Это может произойти двумя способами:

I - в момент времени t рынок находился в состоянии x_{\nu} и за время \Delta t ни одна группа потребителей не освободилась. Вероятность того, что за время \Delta t не освободится первая группа потребителей, равна e^{-\beta \cdot \Delta t}. Вероятность того, что не освободится и первая, и вторая, … , и \nuгруппа потребителей равна:

e^{-\nu \cdot \beta  \cdot \Delta t} \approx 1-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t. Тогда P(I) \approx P_{\nu} (t) \cdot (1-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t);

II - в момент времени t система находилась в состоянии x_{\nu-1} и за время \Delta t произошло занятие одной группы потребителей. Вероятность поступления одного партии товаров за \Delta t равна 1-e^{-\lambda \cdot \Delta t}\approx 1-(1-\lambda \cdot \Delta t)\approx \lambda \cdot \Delta t.

Тогда P(II)=P_{\nu-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t.

Вероятность того, что в момент t+\Delta t система будет находиться в состоянии x_{\nu}:

P_{\nu} (t+\Delta t) \approx P_{nu} (t) \cdot (1-\nu \cdot \beta \cdot \Delta t)+P_{\nu-1}(t)\cdot \lambda \cdot \Delta t

\frac{dP_{\nu}(t)}{dt}=\lambda \cdot P_{\nu-1}(t)-\nu \cdot \beta \cdot P_{\nu_{\lambda}}

Таким образом, получена система дифференциальных уравнений для вероятностей P_0(t) ,P_1(t),…, P_{\nu} (t)

\frac{dP_0(t)}{dt}= \lambda \cdot P_0(t)-\beta \cdot P_1[[dP] \downarrow \nu (t_))/dt=\lambda \cdot P_{\downarrow }i(t)-[(\lambda + I \cdot \beta) \cdot P]_{ \downarrow }i(t)+[(i+1)\cdot \beta )\cdot P]_{ \downarrow }(i+1)_{(t)}

\frac{dP_{\nu}(t)}{dt}=\lambda \cdot P_{\nu-1}(t)-\nu \cdot \beta \cdot P_{\nu_{\lambda}} ( 3.7)

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями Эрланга.

Эти уравнения описывают так называемый процесс рождения и гибели.

Прежде чем перейти к решению системы Эрланга, рассмотрим

закономерности изменения P_0(t) ,P_1(t),…, P_{\nu}(t).