Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин
Пример 5. Построить ряд и начертить полигон частот для следующего распределения некоторой величины. Результаты измерений приведены в процентах.
39 | 41 | 40 | 42 | 41 | 40 | 42 | 44 | 43 | 42 | 41 | 43 |
39 | 42 | 41 | 42 | 39 | 41 | 37 | 43 | 41 | 38 | 43 | 42 |
41 | 40 | 41 | 38 | 44 | 40 | 42 | 40 | 41 | 42 | 40 | 43 |
38 | 39 | 41 | 41 | 42 |
Перейти к интервальному ряду. Построить гистограмму частот.
Решение. Для построения статистического (вариационного) ряда значения признака (результаты измерений) располагаем в порядке возрастания, предполагая, что данные независимы. Длина ряда
37 | 38 | 38 | 38 | 39 | 39 | 39 | 39 | 40 | 40 | 40 | 40 |
40 | 40 | 41 | 41 | 41 | 41 | 41 | 41 | 41 | 41 | 41 | 41 |
41 | 42 | 42 | 42 | 42 | 42 | 42 | 42 | 42 | 42 | 43 | 43 |
43 | 43 | 43 | 44 | 44 |
И затем подсчитаем для каждого значения частоту его появления
Теперь построим полигон частот, откладывая по оси абсцисс значения , а по оси ординат - . Полигон изображен на рис. 8.1.
Для того чтобы перейти к интервальному ряду, воспользуемся формулой (2): . Определим нижнюю границу интервального ряда: и составим интервальный ряд:
N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
( ) | (36,45; 37,55) | (37,55; 38,65) | (38,65; 39,75) | (39,75; 40,85) | (40,85; 41,95) | (41,95; 43,05) | (43,05; 44,15) |
1 | 3 | 4 | 6 | 11 | 14 | 2 | |
1/41 | 3/41 | 4/41 | 6/41 | 11/41 | 14/41 | 2/41 | |
0,02 | 0,07 | 0,09 | 0,14 | 0,25 | 0,32 | 0,05 |
Теперь по оси абсцисс отложим значения интервалов и пронумеруем их, согласно построению. По оси ординат отложим частости . Гистограмма имеет вид, представленный на рис. 8.2. По сравнению с рис. 8.1 ее вид несколько изменился: максимум сместился вправо и левая ветвь более затянута по сравнению с полигоном частот.
Пример 6. Определить основные статистические характеристики ряда, приведенного в примере 5.
Решение. Математическое ожидание находим по формуле (3):
Для того чтобы подсчитать остальные статистические характеристики и моменты составим для удобства вычислений таблицу (таблица 1), которая формируется следующим образом. Столбец 3 получается как результат перемножения данных соответствующих строк первого и второго столбцов. В столбец 4 помещаются результаты вычитания из данных столбца 1 подсчитанного математического ожидания . В столбце 5 стоят квадраты соответствующих строк столбца 4. В столбце 6 – квадраты данных столбца 1. Столбец 7 формируется путем перемножения соответствующих строк столбцов 6 и 2. Столбец 8 формируется путем перемножения соответствующих строк столбцов 5 и 2. В последней строке стоят суммы данных по столбцам. Подсчитаны только те суммы, которые будут использоваться для вычисления статистических характеристик и статистических моментов ряда.37 | 1 | 37 | -3.95 | 15.61 | 1369 | 1369 | 15.61 |
38 | 3 | 114 | -2.95 | 8.71 | 1444 | 4332 | 26.13 |
39 | 4 | 156 | -1.95 | 3.81 | 1521 | 6084 | 15.23 |
40 | 6 | 240 | -0.95 | 0.9 | 1600 | 9600 | 5.43 |
41 | 11 | 451 | 0.05 | 0.00 | 1681 | 18491 | 0.03 |
42 | 9 | 378 | 1.05 | 1.1 | 1764 | 15876 | 9.90 |
43 | 5 | 215 | 2.05 | 4.2 | 1849 | 9245 | 20.99 |
44 | 2 | 88 | 3.05 | 9.30 | 1936 | 3872 | 18.59 |
Сумма | 41 | 1679 | 68869 | 111.90 |
Таблицы, подобные таблице 8.1, удобно составлять для упрощения вычислений, выполняемых как при помощи калькуляторов, так и при привлечении программных средств. Суммы, стоящие в столбце 3, используется в формуле (3), в столбце 7 – в формулах (3), (5), (7) и (9) при , в столбце 8 – в формулах (4), (6), (7) и (9) также при . Пользуясь результатами таблицы 1, вычислим требуемые статистические характеристики и моменты.
Можно самостоятельно убедиться, что результаты вычислений по формулам (8) и (5) совпадают. Аналогично совпадают результаты вычислений по формулам (9) и (6).Пример 7. Найти выражение для через статистические начальные моменты.
Решение. Распишем подробно формулу (4), раскроем скобки и разделим почленно на , получаем:
Пользуясь свойствами сложения конечных рядов и, учитывая, что является константой, получим следующее выражение откуда с учетом (5), получаем Т.е. искомая формула имеет довольно известный вид:( 10) |