Случайная величина и ее основные характеристики.
Свойства основных характеристик случайной величины
К основным характеристикам случайной величины относятся математическое ожидание (2), среднее значение (3), мода, медиана, дисперсия (4) и среднеквадратичное отклонение(5). Рассмотрим подробнее их свойства.
Если случайная величина независимая (это всегда, если речь идет об экспериментальных данных), то можно убедиться, что формулы (2) и (3) совпадают, т.е. . Этот факт широко используют на практике.
Свойство 1. Сумма наблюдаемых данных остается неизменной, если каждое из них заменить средним арифметическим.
Действительно, с учетом (3), получим
Часто на практике используют для оценки рядов наблюдений среднее q-го порядка:( 14) |
( 15) |
Свойство 2. Средняя сумма отклонений значений ряда от среднего значения ряда равна нулю:
Свойство 3. Среднее постоянной величины равна самой постоянной
Свойство 4. Если от каждого значения ряда отнять (прибавить) постоянную, то среднее тоже уменьшиться (увеличится) на эту же величину:
Свойство 5. Если каждое значение ряда увеличить (уменьшить) в раз, где - произвольное рациональное число, то среднее ряда тоже увеличиться (уменьшиться) в такое же число раз. Если , то
Свойство 6. Средняя сумма двух экспериментальных рядов равна сумме средних этих рядов:
где - длина первого ряда, - длина второго ряда.Свойства показателей вариации
Одним из основных показателей ряда считается размах ряда или амплитуда:
показывающий величину интервала, в котором находятся все данные.Мерой рассеяния данных около среднего значения считается дисперсия
Асимметрия (10) характеризует преимущественное расположение относительно среднего значения. Если , то данные расположенные сим-метрично по отношению к . Если , то в данных преобладают значения , небольшие значения, говорят, что ряд смещен влево. Если же , то говорят, что ряд "смещен" вправо относительно среднего, т.е. в данных преобладают большие значения.
Эксцесс (11) с характеризует лишь расстояние данных относи-тельно среднего. Если , то в данных наблюдается большая дисперсия, которая не уменьшается по мере удаления от среднего значения. Если , то данные сгруппированы возле среднего, очень плотно.