Опубликован: 28.04.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 3084 / 873 | Оценка: 3.86 / 2.57 | Длительность: 07:45:00
Специальности: Математик, Преподаватель
Лекция 1:

Вероятностно-статистические методы в обработке и интерпретации экспериментальных данных

Аксиомы теории вероятностей. Геометрическая вероятность

Аксиома 1. С каждым событием $А$ связывается некоторое число $P(A)$, которое называется его вероятностью и удовлетворяет условию $ 0 \leqslant P(A) \leqslant 1$.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице $P(U)=1$

Аксиома 3. Если событие поля испытаний состоит из несовместимых событий $A_{1},A_{2},\ldots,{A_k}$ того же поля, тогда

\[P(A_{1}+A_{2}+\ldots+{A_k})= P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots+P({A_k}) \]
и читается как "вероятность наступления хотя бы одного из событий"

Пример 5. В ящике лежат 20 шаров различного цвета: 2 красных, по 4 синих и черных, а остальные - белые. Найти вероятность извлечения шара каждого цвета.

Решение: Дано: $n_{1}=2$ - красных; $n_{2}=4$ - синие; $n_{3}=4$ - черные; $n_{4}=N-\sum \limits_{i=1}^3 n_{i} $ - белые; $N=20$.

Нужно найти:

$P(A)-?$

$P(B)-?$

$P(C)-?$

$P(D)-?$

Обозначим события:

$A$ - выпадет шар красного цвета;

$B$ - выпадет шар синего цвета;

$C$ - выпадет шар черного цвета;

$D$ - выпадет шар белого цвета.

P(A)=\frac {n_{1}} N =\frac 2 {20} = 0,1;
P(B)=\frac {n_{2}} N =\frac 4 {20} = 0,2;
P(C)=\frac {n_{3}} N =\frac 4 {20} = 0,2;
P(D)=\frac {N-(n_{1}+n_{2}+n_{3})} N = \frac {20-(2+4+4)} {20} =\frac {20-10} {20} =0,5;

Ответ: $P(A)=0,1$ ; $P(B)=0,2$ ; $P(C)=0,2$ ; $P(D)=0,5$

Заметим, что в данном примере события $А$, $B$, $С$ и $D$ образуют полную группу событий, т.е. $P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0,1+0,2+0,2+0,5=1$.

Пример 6. Используя данные примера 5, найти вероятность извлечения синего или красного шара.

Решение: Шар по условию извлекается один, а события А и В независимые, причем наступление события А (вытащить красный шар) полностью исключает событие В (вытащить синий шар) и наоборот. Следовательно, по аксиоме 3 речь идет о поле испытаний.

P(A+B)=P(A)+P(B)=0,1+0,2=0,3.
Любое событие в поле испытаний назовем элементарным событием. Если совокупность всех элементарных событий составляет полную группу событий, то
P(A_{1}+A_{2}+\ldots+{A_k})= P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots+P({A_k})=1

Пример 7. В квадрат вписан круг. В квадрат многократно кидают точку. Найти вероятность того, что точка окажется в круге.

Решение:Вероятность попадания точки в круг определяется отношением площадью круга к площади квадрата (рис. 1.1):

Вероятность попадания точки в круг

Рис. 1.1. Вероятность попадания точки в круг
P(A)=\frac {S_{круга}} {S_{квадрата}}=\frac {\pi R^2} {(2R)^2} =\frac {\pi R^2} { 4R^2} = \frac {\pi} 4.

Пример 7. Двое студентов договорились встретиться с 13 до 14 часов, чтобы вместе пойти в читальный зал. Но так как ни один из них не смог указать точное время возможной встречи, то они договорились так: пришедший на место встречи ждет 15 минут и уходит один. Какова вероятность того, что студенты встретятся в условленном месте?

Решение: Предположим, что первый студент придет ровно в 13 часов, тогда второй должен подойти в любой момент времени от 13 до 13-15, чтобы встретиться с товарищем. Если первый придет в 13-01, то и для второго интервал встречи сместится с 13-01 до 13-16 , и так далее, до окончания часа. Это можно изобразить геометрически (рис. 1.2).

Геометрическая интерпретация задачи о встрече: первый студент

Рис. 1.2. Геометрическая интерпретация задачи о встрече: первый студент

Заштрихованная часть графика отмечает период времени, когда встреча возможна. Если второй студент придет в момент времени, соответствующий не заштрихованной части рис. 1.2, то тогда на условленном месте друзья не встретятся.

Предположим теперь, что первым придет второй студент, то рассуждая аналогично относительно первого, получим график (рис. 1.3), на котором заштрихованная часть графика соответствует встрече друзей.

Геометрическая интерпретация задачи о встрече: второй студент

Рис. 1.3. Геометрическая интерпретация задачи о встрече: второй студент

Если теперь совместить оба графика на одном чертеже (рис. 1.4), то тогда отношение площадей заштрихованной фигуры к общей площади квадрата даст искомую вероятность:

Геометрическая интерпретация задачи о встрече: совмещение графиков

Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация задачи о встрече: совмещение графиков
P(A)=\frac {S_{ф}} {S_{кв}}=\frac {1-(\frac 3 4)^2} 1 = \frac 7 {16}.

Использование геометрии при решении задач по теории вероятностей иногда приводит к более простым решениям по сравнению с аналитическими методами.

Для завершения этой темы рассмотрим еще один пример.

В ювелирном цеху в четырех ящичках лежат алмазы разной величины. В первом ящичке лежит 15 алмазов до 0,25 карата, во втором - 40 от 0,25 до 0,5 карата, в третьем - 30 алмазов от 0,5 до 0,75 карата, и, наконец, в четвертом - 15 алмазов от 0,75 до 1 карата. Стол случайно перевернули и алмазы рассыпались. Рабочий наугад поднимает один из рассыпавшихся алмазов…

Полная группа событий в этом примере состоит из 100 несовместных событий и равновозможных исходов потому, что по условию рабочий поднимает наугад один из 100 рассыпавшихся, и тем самым одним из этих 100 алмазов будет обязательно поднят рабочим. Однако при этом поднятым алмазом может оказаться любой (в равной мере) из 100 рассыпавшихся.

Составим событие А1 (рабочий поднял алмаз, который лежал в первом ящичке) из 15 элементарных равновозможных событий первой полной группы, так как среди всех алмазов 15 были размером до 0,25 карата, т.е. с размерами в пределах допуска первой группы. И если рабочий поднимет один алмаз из первой группы, то событие А1 наступит.

Если бы все алмазы были бы пронумерованы в порядке возрастания размеров, например, Е1, Е2, …, Е100, то к первой группе по размерам отнеслись бы самые мелкие $ E_{1},E_{2},\ldots,{E_{15}}$, т.е. само событие $A_{1}$ подразделялось бы на 15 несовместных элементарных событий, т.е.

A_{1}= E_{1}+E_{2}+\ldots+{E_{15}}.

А поскольку все 100 элементарных исходов равновозможны, то вероятность события А1 (поднять любой алмаз размером до 0,25 карат) равна:

P(A_{1})=\frac {15} {100} = 0,15;

Аналогично находится и другие вероятности:

P(A_{2})=\frac {40} {100} = 0,4; P(A_{3})=\frac {30} {100} = 0,3; P(A_{4})=\frac {15} {100} = 0,15;

Невозможным событием в данном случае будет то, что рабочий поднимет алмаз, который по своему размеру не будет подходить ни к одной из четырех групп.

Противоположное событие к $A_1$, обозначенное $\overline {A_{1}}$, будет заключаться в том, что поднятый алмаз окажется не принадлежащим по своим размерам к первой группе, т.е. он может принадлежать ко второй, третьей или четвертой:

\overline {A_{1}}=A_{2}+A_{3}+A_{4},
а по определению
P(\overline {A_{1}})=\frac {85} {100} = 0,85.

Аналогично,

\[ \overline {A_{2}}=A_{1}+A_{3}+A_{4},  P(\overline A_{2})=\frac {60} {100} = 0,6.\]

События $\overline {A_{1}}$ и $\overline {A_{2}}$ совместны, так как, если поднятый алмаз не принадлежит ни первой, ни второй группе, то он может принадлежать третьей либо четвертой, т.е. оба события $\overline {A_{1}}$ и $\overline {A_{2}}$ могут наступить одновременно.

Отсюда следует, что событие $A_{3}+A_{4}$ (поднять алмаз из третьей или четвертой группы) влечет за собой события $\overline {A_{1}}$ и $\overline {A_{2}}$ (не поднять алмаз из первой или второй группы), т.е. $ A_{3}+A_{4} \subset \overline {A_{1}}$ и $ A_{3}+A_{4} \subset \overline {A_{2}}$, при этом

\[ P(A_{3}+A_{4})=0,45 < P(\overline {A_{1}})=0,85\]

и

\[ P(A_{3}+A_{4})=0,45 < P(\overline {A_{2}})=0,6.\]