Опубликован: 03.05.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 3130 / 752 | Оценка: 4.39 / 4.14 | Длительность: 19:41:00
Лекция 7:

Многостанционный доступ с кодовым разделением и сети CDMA

Корреляция и ортогональные функции Уолша

Как было сказано выше для объединения нескольких каналов при кодовом разделении каналов необходимо, чтобы псевдослучайные коды были, разделимы с помощью корреляционного фильтра. Для этого они должны достаточно различаться. Степень подобия (похожести) функций в математике отображается с помощью корреляции. Различаются взаимная корреляция - сравнение двух функций, ортогональная корреляция - при полной независимости двух функций и автокорреляция - сравнение функции с собой при сдвиге во времени.

  1. Взаимная корреляция (cross correlation) для двух периодических функций с периодом T измеряет подобие двух сигналов сдвинутых во времени и определяется формулой
    C_{ij}=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}W_i(t)W_j(t-\tau)dt
  2. Ортогональная корреляция – это частный случай взаимной корреляции, когда эта функция равна нулю. Эти сигналы могут передаваться одновременно, поскольку они не создают взаимных помех.
    C_{ij}(\tau)=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}W_i(t)W_j(t)dt=0
  3. Автокорреляция – периодического сигнала определяет подобие данной функции с ее же версией сдвинутой во времени и определяется следующей формулой
    R_j(\tau)=\frac 1 T \int\limits_{-\frac T 2}^{\frac T 2}W_i(t)W_j(t-\tau)dt=0

Для дискретных функций интегрирование можно заменить суммированием. В системах многостанционного доступа с кодовым разделением каналов применяются ортогональные функции Уолша. Одним из необходимых, (но не достаточных) свойств такого кода является его сбалансированность, т.е. одинаковое число нулей и единиц.

Ниже ( таблица 7.2)показаны ортогональные функции Уолша длины 2^3 =8 [ 2 ] , [ 20 ] , [ 46 ] .

Заметим, что при кодировании обычно символ 0 заменяется +1, а 1 на –1.

Таблица 7.2. Функции Уолша
WAL(8,1)= 0000 0000
WAL(8,2)= 0000 1111
WAL(8,3)= 0011 1100
WAL(8,4)= 0011 0011
WAL(8,5)= 0110 0110
WAL(8,6)= 0110 1001
WAL(8,7)= 0101 1010
WAL(8,08)=1010 1010

В обозначении WAL(I,J) – первая цифра, обозначает длину последовательности, вторая равна n-1, где n – число интервалов функции (изменений полярности). На рис. 7.3 приведены диаграммы соответствующие этим последовательностям.

Диаграммы ортогональных функций Уолша.

Рис. 7.3. Диаграммы ортогональных функций Уолша.

Ортогональные функции Уолша могут быть сгенерированы, с использованием итерационного процесса построения матрицы Адамара [ 20 ] . Начиная с H_1 = [0]. Матрица Адамара сформирована:

 H_{2n}=\begin{pmatrix}H_n H_n\\H_n \overline {H_n}\\\end{pmatrix}

Коды Уолша - Адамара длины 2 и 4 будут получены соответственно:

 H_2=\begin{pmatrix}0 0\\0 1\\\end{pmatrix}\\ H_4=\begin{pmatrix}0 0 0 0\\0 1 0 1\\0 0 1 1\\0 1 1 0\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}0 0 0 0 0 0 0 0\\0 1 0 1 0 1 0 1\\0 0 1 1 0 0 1 1\\0 1 1 0 0 1 1 0\\0 0 0 0 1 1 1 1\\0 1 0 1 1 0 1 0\\0 0 1 1 1 1 0 0\\0 1 1 0 1 0 0 1\end{pmatrix}\begin{array}{c} 8,1\\8,8\\8,4\\8,2\\8,5\\8,7\\8,3\\8,6\end{array}

Полученная матрица с точностью до порядка следования совпадает с ортогональными функциями, приведенными в табл. 7.2. Для того чтобы облегчить сравнение, справа от матрицы приведены номера функций по табл. 7.2. и диаграмме рис. 7.3 .

Рассмотрим пример вычисления ортогональности полученных функций, Посмотрим взаимную корреляцию (без сдвига) функций 8.8 (0101 0101) и 8.6 (0110 1001).

[(-1)\times(-1)]+[(1\times 1)]+[(-1)\times 1]+[1\times(-1)] +[(-1)\times 1]+[1\times(-1)]+[(-1)\times(-1)]+[(1\times 1)]=0\\
\text{\qquad\quad 1 \qquad\qquad\quad 2 \qquad\qquad\quad 3 \qquad\quad\; 4 \qquad\qquad\qquad 5 \qquad\quad\; 6 \qquad\qquad\qquad 7 \qquad\qquad\quad 8}

Согласно полученному результату эти две функции ортогональны. Однако ортогональные функции Уолша имеют недостатки. Система должна быть синхронизирована. При сдвиге синхронизации функции корреляция увеличивается.

Для сдвинутых по времени и не синхронизированных сигналов, взаимная корреляция может быть, не равна нулю. Они могут интерферировать друг с другом. Вот почему, кодирование с помощью функций Уолша может только использоваться при синхронном CDMA.