Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7151 / 1241 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик

Лекция 12: Сходимость последовательностей случайных величин

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >

Теорема 34. Пусть \xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \xi при n\to\infty. Тогда для сходимости {\mathsf E\,}\xi_n\to{\mathsf E\,}\xi достаточно выполнения любого из следующих условий:

  1. Все члены последовательности ограничены одной и той же постоянной: |\xi_n|\leq C=const.
  2. Все члены последовательности ограничены одной и той же случайной величиной с конечным первым моментом: |\xi_n|\leq
\eta, \mathsf E \eta< \infty
  3. Существует \alpha>1 такое, что {\mathsf E\,}|\xi_n|^{\alpha}<C при всех n.

Самым слабым в этом списке является третье условие, наиболее ограничительным - первое. Ни одно из этих условий не является необходимым для сходимости математических ожиданий.

Сходимость по вероятности, так же как и любая другая сходимость, не портится под действием непрерывной функции.

Свойство 21. Пусть функция g действует из \mathbb R в \mathbb R.

  1. Если \xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \xi и функция g(x) непрерывна, то g(\xi_n) {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}  g(\xi).
  2. Если \xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}  c и g(x) непрерывна в точке c, то g(\xi_n) {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}  g(c).

Доказательство. Простое доказательство первого утверждения можно предложить в двух случаях, которыми мы и ограничимся: если \xi=c=\text{const} (и тогда достаточно, чтобы g была непрерывна в точке c ) или если функция g равномерно непрерывна.

И в том и в другом случае для любого {\varepsilon}>0 найдется такое {\delta>0,} что для любого \omega, удовлетворяющего условию |\xi_n(\omega)-\xi(\omega)|<\delta, выполняется неравенство |g(\xi_n(\omega))-g(\xi(\omega))|<{\varepsilon}.

Другими словами, событие \bigl\{|\xi_n-\xi|<\delta\bigr\} влечет за собой событие {\bigl\{|g(\xi_n)-g(\xi)|<{\varepsilon}\bigr\}.} Следовательно, вероятность первого не больше вероятности второго. Но, какое бы ни было \delta>0, вероятность первого события стремится к единице по определению сходимости по вероятности:

1\longleftarrow\Prob\bigl(|\xi_n-\xi|<\delta\bigr)\le
\Prob\bigl(|g(\xi_n)-g(\xi)|<{\varepsilon}\bigr)\le 1.
Тогда вероятность второго события также стремится к единице.

То же самое можно утверждать и для непрерывной функции многих переменных, примененной к нескольким сходящимся последовательностям.

Свойство 22. Пусть функция g отображает \mathbb R^2 в \mathbb R.

  1. Если \xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \xi, \eta_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \eta при n\to\infty, функция g(x,\,y) всюду непрерывна, то g(\xi_n,\,\eta_n) {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}  g(\xi,\,\eta).
  2. Если \xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}  c_1, \eta_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} 
c_2 при n\to\infty, функция g(x) непрерывна в точке (c_1,\,c_2), то g(\xi_n,\,\eta_n) {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}  g(c_1,\,c_2).

Доказательство. Докажем опять только второе свойство. Воспользуемся определением непрерывности функции двух переменных: для любого {\varepsilon}>0 найдется такое {\delta>0,} что для любого \omega, принадлежащего одновременно двум событиям

A_n=\bigl\{|\xi_n(\omega)-c_1|<\delta\bigr\}, \qquad
B_n=\bigl\{|\eta_n(\omega)-c_2|<\delta\bigr\},
выполняется неравенство
|g(\xi_n(\omega),\,\eta_n(\omega))-g(c_1,\,c_2)|<{\varepsilon}.
Тогда событие A_n\cap B_n влечет событие C={\bigl\{|g(\xi_n,\,\eta_n)-g(c_1,\,c_2)|<{\varepsilon}\bigr\},} поэтому вероятность первого не больше вероятности второго. Но вероятность пересечения двух событий, вероятности которых стремятся к единице, также стремится к единице:
\Prob(A_n\cap B_n) = 1-\Prob\bigl(\overline{A_n} \cup
\overline{B_n}\bigr) \geq
 1-\Prob\bigl(\overline{A_n}\bigr) - \Prob\bigl(\overline{B_n}\bigr) \to
1.
Поэтому \Prob(C)\geq \Prob(A_n\cap B_n)\to 1 при n\to\infty.

Из свойства 22 вытекают обычные свойства пределов, хорошо знакомые нам по числовым последовательностям. Например, функции {g(x,\,y)=x+y} и g(x,\,y)=xy непрерывны в \mathbb R^2, поэтому предел суммы (произведения) сходящихся по вероятности последовательностей равен сумме (произведению) пределов.

Свойство 23. Если \xi_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi и \eta_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\eta, то \xi_n+\eta_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi+\eta\mspace{1mu} и \xi_n\cdot\eta_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi\cdot\eta\mspace{1mu}\vphantom{\int_{b_b}}.

Сходимость "почти наверное" сильнее сходимости по вероятности.

Свойство 24. Если \xi_n\to\xi п.н., то \xi_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi.

Доказательство. Ограничимся для простоты случаем, когда \xi_n(\omega)\to\xi(\omega) для любого \omega. Зафиксируем \omega\in\Omega. По определению предела, \xi_n(\omega)\to\xi(\omega) при n\to\infty, если для всякого {\varepsilon}>0 найдется N=N(\omega,\,{\varepsilon})\ge 0 такое, что для всех n> N выполняется неравенство |\xi_n(\omega)-\xi(\omega)|<{\varepsilon}.

Событие A=\{\mspace{2mu}n > N(\omega,\,{\varepsilon})\} влечет событие B=\{|\xi_n(\omega)-\xi(\omega)|<{\varepsilon}\}. Тогда

1\ge\Prob(B)\geq\Prob(A) 
= 
\Prob\bigl(N(\omega,{\varepsilon}) < n\bigr)=F_{N({\varepsilon},\omega)}(n)\to 1\, \text{ при
 }\,n\to\infty
по свойству (F2) функций распределения. Мы получили, что \Prob(B)\to 1, т.е. \xi_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi.

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.