Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7152 / 1241 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 3:

Аксиоматика теории вероятностей

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >

Свойство 3. Всякая \sigma -алгебра является алгеброй.

Доказательство. Пусть \mathcal F - \sigma -алгебра. Нужно проверить, что она удовлетворяет свойству (A3), т.е. для любых A\in\mathcal F и B \in\mathcal F выполняется A\cup B\in\mathcal F.

Превратим пару A,\,B в счетную последовательность событий так: A,\,B,\,B,\,B,\,\dots, т.е. положим A_1=A, A_i=B при всех i \ge 2. Объединение A\cup B совпадает с объединением всех множеств A_i из этой бесконечной последовательности. А так как \mathcal F - \sigma -алгебра, то

\hspace*{3cm} A\cup B=\bigcup\limits_{i=1}^\infty
A_i\in\mathcal F. \hspace*{3cm}

Итак, всякая \sigma -алгебра автоматически является алгеброй, но не наоборот. Приведем пример алгебры, не являющейся \sigma -алгеброй.

Пример 23. Пусть \Omega=\mathbb R, и пусть \mathcal A - множество, содержащее любые конечные подмножества \mathbb R (т.е. состоящие из конечного числа точек, в том числе пустое) и их дополнения. Так, множество \{0,\, 2,\, \pi\} принадлежит \mathcal A, множество (-\infty,\,-7{,}2)\cup(-7{,}2,\,5)\cup(5,\,\infty) не принадлежит \mathcal A.

Легко проверить, что множество \mathcal A является алгеброй. Действительно, пустое множество и само \Omega=\mathbb R там содержатся, дополнение к любому конечному подмножеству множества вещественных чисел содержится в \mathcal A по определению, дополнение к множеству вида \mathbb R \setminus A для конечных A совпадает с A и также принадлежит \mathcal A по определению. Свойство (A3) проверяется непосредственно: объединение любых конечных множеств снова конечно и поэтому принадлежит \mathcal A. Объединение конечного множества с множеством вида \mathbb R\setminus A, где A конечно, есть снова множество вида \mathbb R\setminus B, где B конечно (или пусто) и т.д.

Однако алгебра \mathcal A не содержит ни одного счетного множества точек. Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный ряд \mathbb N не принадлежит \mathcal A. Поэтому \mathcal A не является \sigma -алгеброй: для бесконечной, но счетной последовательности одноточечных множеств A_i=\{i\} из \mathcal A их объединение \mathbb N=A_1\cup A_2\cup\ldots не принадлежит \mathcal A.

Все алгебры из примера 22 являются \sigma -алгебрами, поскольку содержат лишь конечное число элементов. Вообще, на конечном множестве \Omega понятия алгебры и \sigma -алгебры совпадают. Множество всех подмножеств \Omega является \sigma -алгеброй для любого \Omega.

Борелевская \sigma -алгебра. Приведем еще один пример \sigma -алгебры, которая нам будет необходима в дальнейшем,- \sigma -алгебры борелевских множеств на вещественной прямой.

Борелевской сигма-алгеброй в \mathbb R называется самая маленькая среди всех возможных \sigma -алгебр, содержащих любые интервалы на прямой. Разумеется, \sigma -алгебры, содержащие все интервалы, существуют. Например, множество всех подмножеств \mathbb R - это \sigma -алгебра, и она содержит все интервалы. Что же такое "самая маленькая \sigma -алгебра" из нескольких данных? Обратимся к примерам.

Пусть \Omega=\mathbb R - вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся \sigma -алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до \sigma -алгебр.

Пример 24. Множество \mathfrak A = \{\mathbb R,\, \emptyset,\, [0,\,1],\,
\{ 0\}\} не является \sigma -алгеброй, так как, например, \overline{\{0\}}=\mathbb R\setminus \{0\}=
(-\infty,\,0)\cup(0,\,\infty)\not\in\mathfrak A. Самый маленький набор множеств, содержащий \mathfrak A и являющийся \sigma -алгеброй (минимальная \sigma -алгебра), получится, если включить в него всевозможные объединения, пересечения и дополнения множеств из \mathfrak A:

\mathcal F =\{\,\mathbb R, \emptyset,\ [0,\,1],\ \{
0\},\ 
(-\infty,\,0)\cup(1,\,\infty),\, (0,\,1],\\ (-\infty,\,0]\cup(1,\,\infty),\, 
(-\infty,\,0)\,\cup\,(0,\,\infty)\}.

Определение 6. Минимальной \sigma -алгеброй, содержащей набор множеств \mathfrak A, называется пересечение всех \sigma -алгебр, содержащих \mathfrak A.

Еще раз напомним, что пересекать в определении 6 есть что: хотя бы одна \sigma -алгебра, содержащая данный набор множеств, всегда найдется - это \sigma -алгебра всех подмножеств \Omega.

Упражнение. Доказать, что пересечение двух \sigma -алгебр, содержащих набор множеств \mathfrak A, снова является \sigma -алгеброй, содержащей \mathfrak A.

Упражнение. Найти минимальную \sigma -алгебру, содержащую следующий набор подмножеств \mathbb R: \mathfrak A = \left\{ \mathbb R,\, \emptyset,\,  [0,\,1],\, 
\{3\} \right\}.

Дадим определение борелевской сигма-алгебры. Пусть по-прежнему \Omega=\mathbb R, а множество \mathfrak A состоит из всевозможных открытых интервалов (a,\,b), где a<b: \mathfrak A=\{(a,\,b)\,|\, -\infty<a<b<\infty\}. Это множество всех интервалов не является ни алгеброй, ни \sigma -алгеброй.

Определение 7. Минимальная \sigma -алгебра, содержащая множество \mathfrak
A всех интервалов на вещественной прямой, называется борелевской \sigma -алгеброй в \mathbb R и обозначается \mathfrak B (\mathbb R).

Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в \mathfrak B (\mathbb R) по определению. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в \mathfrak B (\mathbb R), требуются специальные построения. Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат \mathfrak B (\mathbb R), и \mathfrak B (\mathbb R) - \sigma -алгебра. Отсюда сразу следует, что \mathfrak B (\mathbb R) содержит любое множество, которое можно получить из интервалов с помощью счетного числа операций объединения или пересечения, а также взятием дополнения.

В частности, \mathbb R\in \mathfrak B (\mathbb R) по свойству (S1). Далее, все одноточечные множества \{x\}, где x\in\mathbb R, принадлежат \mathfrak B (\mathbb R). Действительно, интервалы \Bigl(x-\frac1n,\,x+\frac1n\Bigr) принадлежат \mathfrak B (\mathbb R), по определению, при любом n. Их счетное пересечение также принадлежит \mathfrak B (\mathbb R) по свойству (S4):

\{x\}=\bigcap\limits_{n=1}^\infty
\Bigl(x-\frac1n,\,x+\frac1n\,\Bigr)\in\mathfrak B (\mathbb R).

Далее, любой интервал вида (a,\,b\,] (или [a,\,b), или [a,\,b\,] ), где a<b, принадлежит \mathfrak B (\mathbb R) как объединение открытого интервала и точки (или двух точек): (a,\,b\,]=(a,\,b)\cup \{b\}.

Упражнение. Докажите, что множество натуральных чисел \mathbb N и множество рациональных чисел \mathbb Q принадлежат \mathfrak B (\mathbb R).

Борелевская \sigma -алгебра в \mathbb R^n строится совершенно так же, как в \mathbb R. Это должна быть минимальная \sigma -алгебра, содержащая все множества вида (a_1,\,b_1)\times\,\ldots\,\times(a_n,\,b_n) - уже не интервалы, как в \mathbb R, а прямоугольники в \mathbb R^2, параллелепипеды в \mathbb R^3 и т.д. Вместе с ними \mathfrak B (\mathbb R^n) содержит любые множества, являющиеся "предельными" для объединений измельчающихся прямоугольников. Например, круг в \mathbb R^2 является борелевским множеством - можно изнутри или снаружи приблизить его объединениями прямоугольников.

Итак, мы определили специальный класс \mathcal F подмножеств \Omega, названный \sigma -алгеброй событий. Применение счетного числа любых операций (объединений, пересечений, дополнений) к множествам из \mathcal F снова дает множество из \mathcal F, т.е. не выводит за рамки этого класса. Событиями будем называть только множества A\in\mathcal
F.

Определим теперь понятие вероятности как функции, определенной на множестве событий (функции, которая каждому событию ставит в соответствие число - вероятность этого события).

< Лекция 2 || Лекция 3: 1234 || Лекция 4 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.