Опубликован: 02.03.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 2394 / 514 | Длительность: 21:50:00
Лекция 7:

Современные симметричные алгоритмы шифрования

7.4 Шифр "Магма" ГОСТ Р 34.12-2015

В июне 2015 года приняты два новых криптографических стандарта Российской Федерации: ГОСТ Р 34.12-2015 "Информационная технология. Криптографическая защита информации. Блочные шифры" и ГОСТ Р 34.13-2015 "Информационная технология. Криптографическая защита информации. Режимы работы блочных шифров", которые вступают в действие с 1 января 2016 года.

ГОСТ Р 34.12-2015 содержит описание двух блочных шифров с длинами блока 128 и 64 бит. Шифр ГОСТ 28147-89 с зафиксированными блоками нелинейной подстановки включен в новый ГОСТ Р 34.12-2015 в качестве 64-битового шифра под названием "Магма" ("Magma"). Стандартом определены следующие блоки замен:

S_0 = (12, 4, 6, 2, 10, 5, 11, 9, 14, 8, 13, 7, 0, 3, 15, 1);
S_1 = (6, 8, 2, 3, 9, 10, 5, 12, 1, 14, 4, 7, 11, 13, 0, 15);
S_2 = (11, 3, 5, 8, 2, 15, 10, 13, 14, 1, 7, 4, 12, 9, 6, 0);
S_3 = (12, 8, 2, 1, 13, 4, 15, 6, 7, 0, 10, 5, 3, 14, 9, 11);
S_4 = (7, 15, 5, 10, 8, 1, 6, 13, 0, 9, 3, 14, 11, 4, 2, 12);
S_5 = (5, 13, 15, 6, 9, 2, 12, 10, 11, 7, 8, 1, 4, 3, 14, 0);
S_6 = (8, 14, 2, 5, 6, 9, 1, 12, 15, 4, 11, 0, 13, 10, 3, 7);
S_7 = (1, 7, 14, 13, 0, 5, 8, 3, 4, 15, 10, 6, 9, 12, 11, 2).

Приведенный в стандарте набор S-блоков обеспечивает наилучшие характеристики, определяющие стойкость криптоалгоритма к дифференциальному и линейному криптоанализу.

Фиксация блоков нелинейной подстановки сделает алгоритм ГОСТ 28147-89 более унифицированным и исключает использование "слабых" блоков нелинейной подстановки. Кроме того, фиксация в стандарте всех долговременных параметров шифра отвечает принятой международной практике. Новый стандарт ГОСТ Р 34.12-2015 терминологически и концептуально связан с международными стандартами ИСО/МЭК 10116 "Информационные технологии. Методы обеспечения безопасности. Режимы работы для n-битовых блочных шифров" (ISO/IEC 10116:2006 Information technology -- Security techniques - Modes of operation for an n-bit block cipher) и серии ИСО/МЭК 18033 "Информационные технологии. Методы и средства обеспечения безопасности. Алгоритмы шифрования": ИСО/МЭК 18033-1:2005 "Часть 1. Общие положения" (ISO/IEC 18033-1:2005 Information technology -- Security techniques -- Encryption algorithms -- Part 1: General) и ИСО/МЭК 18033-3:2010 "Часть 3. Блочные шифры" (ISO/IEC 18033-3:2010 (Information technology -- Security techniques -- Encryption algorithms – Part 3: Block ciphers).

В стандарт ГОСТ Р 34.12-2015 включен также новый блочный шифр ("Кузнечик") с размером блока 128 бит,см.ниже. Ожидается, что этот шифр будет устойчив ко всем известным на сегодняшний день атакам на блочные шифры.

7.5 Блочный шифр Rijndael

Блочный шифр Rijndael в октябре 2000 года стал победителем проведенного Национальным Институтом Стандартов и Технологий (NIST) США конкурса на замену признанного ненадежным алгоритма шифрования DES (Data Encryption Standart). В феврале 2001 года прошел через открытое обсуждение и в апреле 2001 года был объявлен новым федеральным стандартом шифрования США AES (Advanced Encryption Standart), см. [4].

Алгоритм шифрования Rijndael имеет переменную длину блоков и различные длины ключей. Длина ключа и длина блока могут быть равны независимо друг от друга 128, 192 или 256 битам. В стандарте AES определена длина блока данных, равная 128 битам.

Промежуточные результаты преобразований, выполняемых в рамках крипто-алгоритма, называют состояниями (State). Состояние можно представить в виде прямоугольного массива байтов.

При размере блока, равном 128 битам, этот 16-байтовый массив (таблицы 7.5, 7.6) имеет 4 строки и 4 столбца (каждая строка и каждый столбец в этом случае могут рассматриваться как 32-разрядные слова). Входные данные для шифра обозначаются как байты состояния в порядке S_{00}, S_{10}, S_{20}, S_{30}, S_{01}, S_{11}, \ldots.

После завершения действия шифра выходные данные получаются из байтов состояния в том же порядке. В общем случае число столбцов равно длине блока, деленной на 32.

В таблице 7.5 представлен пример 128-разрядного блока данных в виде массива state.

Ключ шифрования также представлен в виде прямоугольного массива с четырьмя строками (таблица 7.6. Число столбцов этого массива равно длине ключа, деленной на 32. В стандарте определены ключи всех трех размеров ---128 бит, 192 бита и 256 бит, то есть соответственно 4, 6 и 8 32-разрядных слова (или столбца --- в табличной форме представления). В некоторых случаях ключ шифрования рассматривается как линейный массив 4-байтовых слов. Слова состоят из 4 байтов, которые находятся в одном столбце (при представлении в виде прямоугольного массива).

Зависимость числа раундов N_r в алгоритме Rijndael от чисел N_b и N_k 32-битных слов, соответственно, в блоке и ключе, отражена в таблице 7.7.

Таблица 7.5. Схема представления 128-разрядного блока данных в виде матрицы состояния
S_{00} S_{01} S_{02} S_{03}
S_{10} S_{11} S_{12} S_{13}
S_{20} S_{21} S_{22} S_{23}
S_{30} S_{31} S_{32} S_{33}

Таблица 7.6. Схема представления 128-разрядного ключа в виде матрицы состояния
K_{00} K_{01} K_{02} K_{03}
K_{10} K_{11} K_{12} K_{13}
K_{20} K_{21} K_{22} K_{23}
K_{30} K_{31} K_{32} K_{33}

Таблица 7.7. Зависимость числа раундов алгоритма от длины блока и ключа
N_r N_b=4 N_b=6 N_b=8
N_k=4 10 12 14
N_k=6 12 12 14
N_k=8 14 14 14

7.5.1 Раундовое преобразование

Раунд состоит из четырех различных преобразований:

  1. замена байтов SubBytes() --- побайтовая подстановка в S-блоках с фиксированной таблицей замен размерностью 8x256;
  2. сдвиг строк ShiftRows() --- побайтовый сдвиг строк массива State на различное количество байт;
  3. перемешивание столбцов MixColumns() --- умножение столбцов состояния, рассматриваемых как многочлены над GF(2^{8}), на многочлен третьей степени g(x) по модулю x^{4}+1;
  4. сложение с раундовым ключом AddRoundKey() --- поразрядное XOR с текущим фрагментом развернутого ключа.

Алгоритм Rijndael оперирует байтами, которые рассматриваются как элементы конечного поля GF(2^{8}). Для построения такого поля используется неприводимый многочлен 8-й степени над полем \mathbb{Z}_2 (см. параграф 1.12). В алгоритме Rijndael используется многочлен \varphi (x)=x^{8 }+x^{4 }+x^{3 }+ x+ 1.

Для каждого байта b=b_0 + b_1 \cdot 2 + \ldots + b_7 \cdot 2^7 построим многочлен A_b(x)=b_0 + b_1 x + \ldots +b_7 x^7, который можно считать элементом построенного нами поля GF(2^8). Далее отождествим следующие представления байта:

b=A_b(x) = (\overline{b_7 b_6\ldots b_0})_2 = \{zt\},

где z=b_0+2b_1+4b_2+8b_3, t = b_4+2b_5+4b_6+8b_7 --- цифры шестнадцатеричного представления байта.

Операция сложения над элементами поля представляет собой поразрядное сложение по модулю 2, умножение представляет собой операцию умножения со взятием результата по модулю многочлена \varphi.

Преобразование SubBytes() представляет собой нелинейную замену байтов, выполняемую независимо с каждым байтом b состояния.

  1. построим многочлен A_b(x), найдём к нему обратный многочлен B(x)=A_b(x)^{-1} ~(\mod \varphi(x) ), и составим новый байт b' из коэффициентов B(x);
  2. получим байт b'' с помощью линейного преобразования:
\left(\begin{array}{c} 
b_0'' \\
b_1'' \\
b_2'' \\
b_3'' \\
b_4'' \\
b_5'' \\
b_6'' \\
b_7''
 \end{array}\right)=\left(
 \begin{array}{cccccccc}
  1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
  1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
  1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
  1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
  1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
 \end{array}
 \right)\cdot
 \left(\begin{array}{c} 
b_0' \\
b_1' \\
b_2' \\
b_3' \\
b_4' \\
b_5' \\
b_6' \\
b_7'
 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 
1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
1 \\
0 \\
 \end{array}\right)

Пример 7.8 Применим преобразование SubBytes() к байту \{83\}.

Многочлен, коэффициентами которого являются биты данного числа: A(x) = x^7 + x + 1. Вначале найдём обратный к нему многочлен относительно умножения в поле GF(2^{8}). Как уже отмечалось ранее, операция умножения в поле GF(2^{8}) является операцией умножения многочленов с взятием результата по модулю неприводимого многочлена \varphi(x) восьмой степени с использованием операции XOR (сложения по модулю 2) при приведении подобных членов. Так как авторами алгоритма шифрования Rijndael был выбран неприводимый многочлен \varphi (x)=x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1, то нам необходимо найти такой многочлен B(x)=A^{-1}(x), который бы при умножении на многочлен x^{7}+x+1 по модулю \varphi (x) = x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1 давал единицу, то есть (x^{7}+x+1)\cdot B(x)=1 (\mod (x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1)).

С помощью расширенного алгоритма Евклида находим:

1=x^7\cdot A(x) + (x^6 + x^2 + x + 1)\cdot \varphi(x).

Отсюда B(x) = A^{-1}(x) = x^7. Соответствующий байт: b'=1000 0000_2 = \{80\}.

Теперь совершим второй этап преобразования.

\left(\begin{array}{c} 
b_0'' \\
b_1'' \\
b_2'' \\
b_3'' \\
b_4'' \\
b_5'' \\
b_6'' \\
b_7''
 \end{array}\right)=\left(
 \begin{array}{cccccccc}
  1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
  1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
  1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
  1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
  1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
 \end{array}
 \right)\cdot
 \left(\begin{array}{c} 
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1
 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 
1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
1 \\
0 \\
 \end{array}\right)=
 \left(\begin{array}{c} 
0 \\ %11101100
0 \\
1 \\
1 \\
0 \\
1 \\
1 \\
1
 \end{array}\right).

Результатом проведенного преобразования является значение 1110\ 1100_2=\{EC\}.

Преобразование сдвига строк ShiftRows() выглядит следующим образом: последние 3 строки состояния циклически сдвигаются влево на различное число байтов. Строка 1 сдвигается на C_1 байт, строка 2 --- на C_2 байт, и строка 3 --- на C_3 байт. Значение сдвигов C_1, C_2 и C_3 в Rijndael зависят от длины блока N_b. Их величины приведены в таблице 7.8.

Таблица 7.8. Величины сдвигов строк состояния при выполнении операции
N_b = 4 N_b = 6 N_b = 8
C_1 C_2 C_3 C_1 C_2 C_3 C_1 C_2 C_3
1 2 3 1 2 3 1 3 4

В стандарте AES, где определен единственный размер блока, равный 128 битам, C_1=1, C_2=2, C_3=3.

Преобразование перемешивания столбцов (MixColumns) действует отдельно на каждом i-м столбце таблицы состояния, как линейное преорбазование:

\begin{equation}\left(\begin{array}{c}
S'_{0,i} \\ S'_{1,i} \\ S'_{2,i} \\ S'_{3,i}         
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{cccc}
\{02\} & \{03\} & \{01\} & \{01\} \\
\{01\} & \{02\} & \{03\} & \{01\} \\
\{01\} & \{01\} & \{02\} & \{03\} \\
\{03\} & \{01\} & \{01\} & \{02\} \\
\end{array}\right)\cdot
\left(\begin{array}{c}
S_{0,i} \\ S_{1,i} \\ S_{2,i} \\ S_{3,i}         
\end{array}\right),
\end{equation} ( 7.2)
\{02\}=x, \qquad \{03\}=x+1, \qquad \{01\}=1.

В результате такого умножения байты S_{0,i}, S_{1,i}, S_{2,i}, S_{3,i} заменятся, соответственно, на байты

S'_{0,i} = x\cdot S_{0,i} + (x+1)\cdot S_{1,i} + S_{2,i} + S_{3,i}, ( 7.3)
S'_{1,i} = S_{0,i} + x\cdot S_{1,i} + (x+1)\cdot S_{2,i} + S_{3,i}, ( 7.4)
S'_{2,i} = S_{0,i} + S_{1,i} + x\cdot S_{2,i} + (x+1)\cdot S_{3,i}, ( 7.5)
S'_{3,i} = (x+1)\cdot S_{0,i} + S_{1,i} + S_{2,i} + x\cdot S_{3,i}. ( 7.6)

Применение этой операции ко всем четырем столбцам состояния обозначают через MixColumns().

Пример 7.9 Применим операцию MixColumns() к столбцу: S_{0,0}=\{2d\}, S_{1,0}=\{26\}, S_{2,0}=\{31\}, S_{1,0}=\{4c\}.

Представим элементы S_{i,0} полиномами:

S_{0,0}=\{2d\}=x^5+x^3+x^2+1,\qquad S_{1,0}=\{26\}=x^5+x^2+x,\\S_{2,0}=\{31\}=x^5+x^4+1,\qquad S_{3,0}=\{4c\}=x^6+x^3+x^2.

Находим S_{0,0} по формулам (7.3)-(7.6). Вычислим многочлен:

\begin{align*}x\cdot (x^5+x^3+x^2+1) + (x+1)\cdot (x^5+x^2+x) + (x^5+x^4+1) + \\(x^6+x^3+x^2) = x^6+x^3+x^2+1\end{align*}

и возьмём остаток от его деления на \varphi(x)=x^8 + x^4 + x^3 + x + 1. Имеем:

S'_{0,0} = x^6+x^3+x^2+1 ~(\mod \varphi(x) ) = \{4d\}.

Аналогично находим остальные компоненты столбца:

\begin{align*}S'_{1,0}=(x^5+x^3+x^2+1) + x\cdot (x^5+x^2+x) + (x+1)(x^5+x^4+1) + \\
(x^6+x^3+x^2) = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x \equiv \\
\equiv x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x ~(\mod \varphi(x) ) = \{7e\},\end{align*}
%
\begin{align*}S'_{2,0}=(x^5+x^3+x^2+1) + (x^5+x^2+x) + x\cdot (x^5+x^4+1) + \\
(x+1)\cdot (x^6+x^3+x^2) = x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1 \equiv \\
\equiv x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+1 ~(\mod \varphi(x) ) = \{bd\}, 
\end{align*}
%
\begin{align*}S'_{3,0}=(x+1)\cdot (x^5+x^3+x^2+1) + (x^5+x^2+x) + (x^5+x^4+1) + \\
x\cdot (x^6+x^3+x^2) = x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 \equiv\\
\equiv x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 ~(\mod \varphi(x) ) = \{f8\}. \end{align*}

На рисунке 7.5 показано преобразование исходного столбца S_{10} в столбец S_{10}' с помощью операции MixColumns().

Применение MixColumns() к столбцу состояния

Рис. 7.5. Применение MixColumns() к столбцу состояния

В операции добавления подключа (AddRoundKey) подключ K^{(r)} раунда r добавляется к данным с помощью операции побитового сложения по модулю два (операция XOR). Это сложение также можно рассматривать как сложение элементов поля GF(2^8):

S'_{ij} = S_{ij} + K^{(r)}_{ij}.

7.5.2 Алгоритм выработки раундовых ключей

Подключи вырабатываются из исходного секретного ключа шифрования с помощью алгоритма выработки ключей (Key Schedule). Длина подключа (в 32-разрядных словах) равна длине блока N_b слов.

Подключи, используемые в каждом раунде шифрования, получаются из исходного секретного ключа шифрования с помощью алгоритма выработки подключей. Он содержит два компонента.

  1. Расширение ключа (Key Expansion). В результате расширения из ключа длиной N_k слов получается расширенный ключ, слова которого обозначим через w[i], i=0,1,\ldots,N_k\cdot (N_r+1)-1.
  2. Выбор раундовых подключей из расширенного ключа. В результате получаются раундовые ключи K^{r}, r=1,2\ldots, N_r.

Расширение ключа. При расширении ключа нам потребуются следующие операции, применяемые к словам v, состоящим из байт v_0, v_1, v_2, v_3 (будем использовать обозначение v=\{v_0,v_1,v_2,v_3\}):

\begin{align*}\text{RotWord}(\{v_0,v_1,v_2,v_3\}) = \{v_1,v_2,v_3,v_0\},\\
\text{SubWord}(\{v_0,v_1,v_2,v_3\}) = \{\text{SubBytes}(v_0),\text{SubBytes}(v_1),\\
\text{SubBytes}(v_2),\text{SybBytes}(v_3)\}. \end{align*}

Кроме того, определим константы-слова \text{Rcon}[i]=\{x^{i-1}, 0, 0, 0\}. Напомним, что под байтом x^{i-1} понимается элемент поля GF(2^8), то байт состоит из коэффициентов из \mathbb{Z}_2 остатка r(x) от деления x^{i-1} на неприводимый многочлен \varphi(x).

Под сложением слов u+v будем понимать их побитовое сложение по модулю два, что эквивалентно побайтовому сложению в поле GF(2^8). Иногда также пишут u\ \text{XOR}\ v.

Первые слова w[0], w[1],\ldots, w[N_k-1] расширенного ключа совпадают со словами ключа шифрования. Последующие слова w[i] вычисляются последовательно при i=N_k, N_k+1,\ldots по следующему алгоритму:

  1. Возьмём v := w[i-1].
  2. Если i кратно N_k и N_k\leq 6, то положим v:=\text{SubWord}(\text{RotWord}(v)) + \text{Rcon}[i].
  3. Если N_k > 6 и i\equiv 4 ~(\mod  N_k), то положим v:=\text{SubWord}(v).
  4. Положим w[i]=w[i-N_k]+v.

Выбор раундовых подключей. Ключ K^{(r)} r-го раунда (1\leq r\leq N_r) состоит из слов w[N_b\cdot i], w[N_b\cdot i + 1], \ldots w[N_b\cdot (i+1)-1]. Например, при N_b = 4 получаем:

w=\{w[0],w[1],w[2],w[3], \underbrace{w[4],w[5],w[6],w[7]}_{\text{Подключ} K^{(1)}}, \underbrace{w[8],w[9],w[10],w[11]}_{\text{Подключ} K^{(2)}},\ldots \}.

7.5.3 Дополнение. О выборе блоков замен для AES и аналогичных алгоритмов

Как известно, для оценки качества блоков замен используются различные критерии. Одним из таких критериев является максимум модуля коэффициентов корреляции, имеет значение также количество нулей корреляционной матрицы. Для выбранного в алгоритме Rijndael неприводимого многочлена \varphi(x)=x^{8}+x^{4}+x^{3}+x+1 корреляционная матрица следующая:

\begin{scriptsize}
\left(
\begin{array}{cccccccc}
-0,0469&0,0625&0,0313&-0,0156&-0,0938&-0,0156&0,0938&-0,0938\\
0,0625&0,0938&-0,0625&-0,0938&-0,1094&0,0156&0&0,0781\\
0,0313&-0,0625&-0,0938&-0,0469&0,0156&0&0,0781&0,0625\\
-0,0156&-0,0938&-0,0469&-0,0625&0,0625&-0,0625&-0,0625&0,1250\\
-0,0938&-0,1094&0,0156&0,0625&0,0938&0,0469&0,0313&-0,0156\\
-0,0156&0,0156&0&-0,0625&0,0469&-0,0313&-0,0156&-0,0938\\
0,0938&0&0,0781&-0,0625&-0,0313&-0,0156&-0,0938&-0,0156\\
-0,0938&0,0781&0,0625&0,1250&-0,0156&-0,0938&-0,0156&0,0938
\end{array}
\right)
\end{scriptsize}

Заметим, что за счет выбора другого неприводимого многочлена степени 8 над полем GF(2^8) можно получить корреляционную матрицу с бОльшим количеством нулевых элементов, что затруднит корреляционный криптоанализ, однако упростит аппроксимацию шифра аффинными булевыми функциями за счет большего количества единичных значений элементов в полной матрице коэффициентов корреляции со всеми аффинными функциями.

Пример 7.10 Применение полинома (десятичный эквивалент) 355 наиболее затруднит аппроксимацию шифра аффинными булевыми функциями, а применение полинома 425 наиболее затруднит корреляционный криптоанализ, однако упростит аппроксимацию аффинными булевыми функциями.

В таблице 7.9 приведен пример оптимального по корреляционному критерию блока замен длины 256 [5].

Таблица 7.9. Пример блока замен длины 256
S_8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
0 5C 58 04 F2 02 F9 A1 AE F6 05 AB AA 57 5D F1 0F
1 A9 A3 0D F5 06 F3 5F 5E FA 07 5B 54 AC A8 F0 00
2 B8 BC 12 E4 19 E2 4E 41 E5 16 4A 4B BD B7 EF 11
3 43 49 15 ED 13 E6 BE BF E7 1A B4 BB 48 4C E0 10
4 98 9C 32 C4 39 C2 6E 61 C5 36 6A 6B 9D 97 CF 31
5 63 69 35 CD 33 C6 9E 9F C7 3A 94 9B 68 6C C0 30
6 7C 78 24 D2 22 D9 81 8E D6 25 8B 8A 77 7D D1 2F
7 89 83 2D D5 26 D3 7F 7E DA 27 7B 74 8C 88 D0 20
8 D8 DC 72 84 79 82 2E 21 85 76 2A 2B DD D7 8F 71
9 23 29 75 8D 73 86 DE DF 87 7A D4 DB 28 2C 80 70
A 3C 38 64 92 62 99 C1 CE 96 65 CB CA 37 3D 91 6F
B C9 C3 6D 95 66 93 3F 3E 9A 67 3B 34 CC C8 90 60
C 1C 18 44 B2 42 B9 E1 EE B6 45 EB EA 17 1D B1 4F
D E9 E3 4D B5 46 B3 1F 1E BA 47 1B 14 EC E8 B0 40
E F8 FC 52 A4 59 A2 0E 01 A5 56 0A 0B FD F7 AF 51
F 03 09 55 AD 53 A6 FE FF A7 5A F4 FB 08 0C A0 50
Евгений Шаров
Евгений Шаров

как начать заново проходить курс, если уже пройдено несколько лекций со сданными тестами?

Юлия Мышкина
Юлия Мышкина

Обучение с персональным тьютором осуществляется по Скайпу или посредством переписки?