Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 720 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00
Специальности: Программист
Лекция 12:

Теории и модели

Плотные линейно упорядоченные множества

Рассмотрим сигнатуру, содержащую отношения порядка и равенства. Рассмотрим теорию плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элемента, которая включает в себя следующие аксиомы:

  • аксиомы равенства (в том числе сохранение порядка при замене элементов на равные);
  • \forall x\,(x\le x) (рефлексивность порядка);
  • \forall x\forall y\forall z\, ((x\le y)\land (y\le z)\to (x\le
z)) (транзитивность порядка);
  • \forall x \forall y\,((x\le y)\land (y\le x)\to (x=y)) (антисимметричность порядка);
  • \forall x \forall y \,((x\le y)\lor (y\le x)) (линейность порядка);
  • \forall x \exists y\, (y >x) (нет максимального элемента; (y>x) можно считать сокращением для \lnot (y\le x) или для (x\le y)\land\lnot (x=y) — при наличии остальных аксиом это одно и то же);
  • аналогичная аксиома про отсутствие минимального элемента;
  • \forall x\forall y\, ((x<y)\to \exists z\,((x<z)\land (z<y)) (плотность).

Рациональные числа образуют счетную модель этой теории, а действительные — несчетную. Как мы уже упоминали, эта теория категорична в счетной мощности, все ее счетные нормальные модели изоморфны. Отсюда по теореме 65 получаем, что она полна. Следовательно, в ней выводятся все истинные в \mathbb{Q} (или в любой другой модели, в частности, в \mathbb{R} ) формулы ее сигнатуры (в самом деле, из формул \varphi и \lnot\varphi ровно одна истинна и ровно одна выводима, и выводимая формула должна быть истинной). Наконец, по теореме 67 эта теория разрешима.

Другое доказательство тех же фактов дает элиминация кванторов (теорема 30). Как мы отмечали в разделе "Элиминация кванторов", для каждой формулы \varphi нашей сигнатуры существует бескванторная формула \varphi', эквивалентная \varphi в любой нормальной интерпретации теории плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элементов. Поэтому эквивалентность \varphi\leftrightarrow\varphi'кванторами всеобщности) является теоремой этой теории. Если формула \varphi была замкнутой, то формула \varphi' будет тождественно истинной или тождественно ложной. В первом случае в теории выводима формула \varphi, во втором случае — ее отрицание. Следовательно, теория полна.

Сказанное можно интерпретировать и так: мы доказали конечную аксиоматизируемость теории \Th(\mathbb{Q},{=},{<}), предъявив список аксиом.

119. Покажите, что эта теория не является категоричной в мощности континуум.

Отсюда следует (по теореме Морли), что теория плотных линейно упорядоченных множеств без первого и последнего элемента не будет категоричной ни в какой несчетной мощности.

120. Не используя теоремы Морли, укажите примеры неизоморфных плотных линейно упорядоченных множеств заданной несчетной мощности.

121. Покажите, что элементарные теории \Th([0,1],{=},{<}) и \Th([0,+\infty),{=},{<}) конечно аксиоматизируемы, полны и разрешимы. Будут ли они категоричными в мощности континуум?

122. Рассмотрим теорию плотных линейно упорядоченных множеств (не добавляя аксиом про наименьший и наибольший элемент). Будет ли она категорична в какой-либо мощности? полна? разрешима?

Теория Th(Q,=,<,+,0,1)

В этом примере мы действуем в обратном порядке, начав с конкретной интерпретации (целые числа с равенством, функцией прибавления единицы и константой 0 ) и построив явную систему аксиом. Для этого вспомним процедуру элиминации кванторов из раздела "Элиминация кванторов" (теорема 28). Какими свойствами должна обладать нормальная интерпретация языка, чтобы преобразования, использованные при элиминации кванторов, были эквивалентными? Помимо аксиом равенства, нам нужно, чтобы функция S была биекцией и чтобы для любого x все элементы

\dots,S^{-1}(S^{-1}(x)), S^{-1}(x), x,S(x),S(S(x)),\dots
были различны. Другими словами, элиминация кванторов дает формулу, эквивалентную исходной во всех моделях такой теории:

  • аксиомы равенства;
  • \forall x \forall y\, ((S(x)=S(y))\to(x=y)) ;
  • \forall x \exists y\, (S(y)=x) ;
  • \forall x \, \lnot (x=S(x)) ;
  • \forall x \, \lnot (x=S(S(x))) ;
  • \forall x \, \lnot (x=S(S(S(x)))) и т. д.

Ограничиваясь замкнутыми формулами, мы (как и в предыдущем примере) видим, что \Th(\mathbb{Z},{=},{S},0) совпадает с множеством всех формул, выводимых из перечисленных аксиом, так что теория с этими аксиомами полна. Она разрешима (как любая полная теория с разрешимым множеством аксиом; кроме того, явный алгоритм дается элиминацией кванторов).

В отличие от предыдущего примера, эта теория не является категоричной в счетной мощности — например, \mathbb{Z}+\mathbb{Z} является ее моделью, не изоморфной исходной.

123. Опишите все модели этой теории.

124. Покажите, что эта теория категорична в любой несчетной мощности.

Покажем в заключение, что эта теория не является конечно аксиоматизируемой. В самом деле, пусть имеется конечное множество F теорем этой теории, из которой следуют все остальные теоремы. Каждая из теорем множества F выводима из аксиом, и этот вывод использует конечное число аксиом. Это означает, что все остальные аксиомы (не используемые в выводе формул из F ) вообще лишние. А это не так: в конечной модели, составленной из остатков по модулю N, верны все аксиомы, кроме S^{N}(x)\ne x,\,S^{2N}(x)\ne x,\dots, поэтому эти аксиомы не следуют из остальных.

125. Докажите, что использованное нами рассуждение носит общий характер: если теория бесконечна, но конечно аксиоматизируема, то некоторая ее конечная часть равносильна всей теории (имеет те же теоремы).