Опубликован: 25.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1275 / 290 | Оценка: 4.40 / 4.36 | Длительность: 21:57:00
Специальности: Математик
Лекция 9:

Применение вариационных принципов для построения разностных схем

Имеем интегро - дифференциальное уравнение для определения \theta (s, t), причем как строить его разностную аппроксимацию — непонятно.

Отметим, что G(s, \sigma ) есть функция Грина для задачи

w'' = - g(s),     w'(0) = w(1) = 0.

Рис. 9.2.

Теперь введем дискретный аналог лагранжиана Lh. Для этого разобьем стержень на n отрезков одинаковой длины \Delta l (и одинаковой массы). Каждый отрезок характеризуется углом наклона \theta _{k}. Тогда (см. рис. 9.2)

\begin{gather*}
 x_j = \sum\limits_{k = 1}^{j}{\Delta l \cos  \theta_k } =  \Delta l \sum\limits_{k = 1}^{j}{\cos 
 \theta_k } ; \\ 
y_j = \Delta l \sum\limits_{k = 1}^{j}{{\sin}\theta_k } ; \\ 
T_{h} = \frac{\Delta l}{2} \sum\limits_{j = 1}^{n}{\dot{x} + \dot{y}} = \frac{(\Delta l)^3}{2}
 \sum\limits_{j = 1}^{n}{\frac{{\partial}z_j}{{\partial}t} \frac{{\partial}\bar{z}_j}{{\partial}t}};z_j = e^{i \theta_j } ; \\ 
U_{h} = \frac{\Delta l}{2} \sum\limits_{j = 2}^{n} \left(\frac{\theta_j - \theta_{j - 1}}{\Delta l}\right)^2 - F_x \Delta l \sum\limits_{j = 1}^{n}{\cos {\theta_j}} - F_y \Delta l \sum\limits_{j = 1}^{n}{\sin{\theta_j}}. \end{gather*}

Здесь появился аналог конечных элементов или схем с центральными разностями. Интегралы в этом выражении заменены конечными изломами, фактически эти интегралы вычислены методом трапеций, т.е. погрешность в определении лагранжиана Lh есть O(\Delta l)^{2}.

Теперь для построения системы уравнений надо записать

$ \frac{d}{dt} \left({\frac{{{\partial}L_{h}}}{{{\partial}\dot \theta_m }}}\right) - \frac{{{\partial}L_{h}}}{{{\partial}\theta_m }} = 0, m = 1, 2, \ldots , n  $

т. е. продифференцировать дискретный аналог функционала по всем значениям \theta_m , \dot \theta_m на введенной сетке. Для рассматриваемой задачи последнее равенство приводит к соотношению

$ \sum\limits_{j = 1}^{n}{\frac{{{\partial}^2 L_{h}}} {{{\partial}\theta_k {\partial}\theta_j }} \ddot \theta_j } =  \frac{{{\partial}L_{h}}}{{{\partial}\theta_k }} - \frac{{{\partial}^2 L_{h}}}{{{\partial}\dot \theta_k {\partial}t}} -  \sum\limits_{j = 1}^{n}{\frac{{{\partial}^2 L_{h}}}
{{{\partial}\theta_k {\partial}\theta_j }} \dot  \theta_j } .  $

После подстановки в последнее выражение дискретного аналога лагранжиана и выполнения дифференцирования по всем \theta_k , \dot {\theta}_k, получаем:

\begin{gather*}
 \sum\limits_{k = 1}^{n}{\alpha_{lk} \ddot {\theta}_k } = n^4 (\theta_{l - 1} - 2 \theta_{l} + \theta_{l + 1} ) + \\ 
 + n^2 (F_y \cos \theta_{l} - F_x {\sin}\theta_{l} ) - \sum\limits_{k = 1}^{n}{g_{lk} {\sin}(\theta_{l} -  \theta_k ) \dot {\theta}_k ^2}. \end{gather*}

(известно, что n\Delta l = 1 по построению).

Таким образом, при использовании сеточного аналога вариационного принципа Гамильтона получена дифференциально - разностная система уравнений (дифференциальная по времени, разностная по пространственным переменным).


Рис. 9.3.

Несколько затруднительно решать эту систему как систему обыкновенных дифференциальных уравнений, так как она не приведена к нормальной форме Коши. Однако с последней дифференциально - алгебраической системой можно работать и решать ее. Алгоритмы решения основаны на том, что glk — сеточный аналог функции Грина. Обратная матрица — сеточная аппроксимация оператора второй производной. Подробное изложение метода решения в [19.1].