Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3170 / 267 | Оценка: 4.08 / 3.92 | Длительность: 15:40:00
ISBN: 978-5-9556-0110-6
Специальности: Программист, Математик
Лекция 1:

Предварительные сведения

Лекция 1: 123 || Лекция 2 >

Отношения и функции. Мощность множества

Бинарным или двуместным отношением между элементами множеств A и B называется любое подмножество R их декартова произведения A x B . Говорят также, что R является отношением из A в B. При A = B отношение R называется бинарным отношением на A. Вместо (x,y) \in  R часто пишут xRy. Например, для отношений порядка на множестве натуральных чисел N используют записи вида 3 <= 7, x >= 23, z > y и т.п.

Тождественным отношением на множестве A называется отношение

I\_ A= \{ (x,x)| x\in  A\}. Его обозначают знаком равенства " = ".

С бинарным отношением R связана его область определения:

\delta_R=\{ x\ | \textrm{ существует } y \textrm{ такое, что } (x,y) \in R\}

и его область значений:

\rho_R=\{ y\ | \textrm{ существует } x \textrm{ такое, что } \ (x,y) \in R\}.

Обратным отношением для бинарного отношения R называется множество пар R^{-1} = \{ (x,y)| (y,x) \in  R\}.

Образом множества X относительно R называется множество R(X) = \{  y| \  существует \ x \in  X \ такое, \ что (x,y) \in  R\}, прообразом X относительно R называется R-1(X).

Произведением отношений R_{1} \subseteq  A \times  B и R_{2} \subseteq  B  \times  C называется следующее отношение R_{1} \hat{}  R_{2} \subseteq  A  \times  C:

R_1 \circ R_2 = \{(x,z)| \textrm{ существует } y\in B \textrm{ такое, что } (x,y) \in R_1 \textrm{ и } (y,z) \in R_2\}.

Важную роль среди бинарных отношений играют отношения эквивалентности. Бинарное отношение R на множестве A называется отношением эквивалентности, если для него выполнены следующие условия:

  1. Рефлексивность: для любого a \in  A (a,a) \in  R ;
  2. Симметричность: для любых a, b из A (a,b) \in  R \Leftrightarrow  (b,a) \in  R ;
  3. Транзитивность: для любых трех элементов a, b,c из A, если (a,b) \in  R и (b,c) \in  R, то и (a,c) \in  R.

Примером отношения эквивалентности на множестве натуральных чисел N является равенство остатков при делении на некоторое фиксированное число n: a = b (mod n).

С каждым отношением эквивалентности \equiv на множестве A связано разбиение A на непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности. Для каждого a \in  A его класс эквивалентности [a]_{\equiv } включает все эквивалентные a элементы: [a] \equiv = { b \isin; A | a \equiv b}. Из определения эквивалентности непосредственно следует, что, если a \equiv b, то [a]_\equiv = [b]_\equiv, а если a \not\equiv b, то [a]_\equiv \cap [b]_\equiv= \emptyset. Таким образом, разбиение A на классы эквивалентности не зависит от выбора конкретных представителей этих классов в качестве их имен.

Если в приведенном выше примере в качестве n взять, например, 5, то все числа из N разобьются на 5 классов эквивалентности: N0, N1, N2, N3, N4, где в класс Ni (i=0,1,2,3,4) войдут числа, дающие при делении на 5 остаток i.

Еще один важный класс отношений - отношения (частичного) порядка. Бинарное отношение R на множестве A называется отношением частичного порядка, если для него выполнены следующие условия:

  1. Антирефлексивность: для любого a \in  A \ (a,a) \notin R ;
  2. Антисимметричность: для любых a, b из A, если (a,b) \in  R и (b,a) \in  R, то a = b ;
  3. Транзитивность: для любых трех элементов a, b,c из A, если (a,b) \in  R и (b,c) \in  R, то и (a,c) \in  R.

    Примером такого отношения является отношение строгого включения на множестве 2A всех подмножеств некоторого множества A. Обычное отношение строгого порядка < на N также удовлетворяет условиям 1 - 3. Но для него выполнено еще одно существенное условие:

  4. Линейность: для любых a, b из A либо (a,b) \in  R, либо (b,a) \in  R.

Отношения, для которых выполнены условия 1 - 4 называются отношениями линейного порядка.

Отношение f называется функцией из A в B ( из A на B ) , если \delta _{f}=A, \rho _{f} \subseteq  B (соответственно, \rho _{f} = B ) и для всех x, y1, y2 из того, что (x,y_{1}) \in  f и (x,y_{2}) \in  f, следует, что y1 = y2. Запись: f : A -> B. В качестве синонимов термина "функция" часто используются слова отображение и преобразование. Если f функция, то вместо (x,y) \in  f пишем f(x) = y и называем y значением f на аргументе x. f называется 1-1-функцией (или обратимой функцией), если для любых x1, x2, y из того, что f(x1) = y и f(x2) = y следует, что x1 = x2 . Функция f : A -> B называется взаимно однозначной функцией, если она является 1-1-функцией и \rho _{f}=B. Взаимно однозначная функция f : A -> A называется перестановкой множества A .

Определения бинарных отношений и функций с одним аргументом естественным образом обобщаются на многоместные отношения и функции.

n -арным (или n - местным) отношением на множествах A1,..., An называется любое подмножество A1 x ... x An. Функцию f : A1 x ... x An -> B называем n -арной (или n - местной) функцией и пишем f(x1, ..., xn) = y при x_{1} \in  A_{1}, \dots  , x_{n} \in  A_{n}. Чаще всего мы будем рассматривать n -арные функции для A1 = ... = An =A. В этом случае f : An -> B будем называть n -арной функцией из A в B.

Множество A называется эквивалентным (по мощности ) множеству B, если между A и B можно установить взаимно однозначное соответствие. Мощностью множества A называется класс всех множеств, эквивалентных множеству A, и эта мощность обозначается через |A| .

Для каждого n \in  N мощность множества Nn={0,1,...,n-1} обозначим через n. Множество называется конечным, если оно для некоторого n \in  N эквивалентно множеству Nn. Для конечных множеств их мощность - это количество элементов. В частности, для пустого множества |\varnothing | = 0.

Каждое множество, эквивалентное N, называется счетным и его мощность обозначается \aleph_0.

В нашем курсе мы будем рассматривать только конечные и счетные множества, а также - отношения и функции на таких множествах. Отметим, что многие объекты, изучаемые в дискретной математике, являются частными случаями отношений и функций на конечных множествах. К ним относятся, в частности, слова. Пусть алфавит A={a1, ..., am} - это конечное множество элементов, называемых символами (буквами). Слово в алфавите A - это конечная последовательность символов этого алфавита: w =w_{1} \dots  w_{n},  w_{i} \in  A при i = 1, ..., n . Число букв в этой последовательности называется длиной слова и обозначается |w|. Имеется одно специальное "пустое" слово длины 0. Будем обозначать его через \varepsilon. Нетрудно понять, что слова длины n взаимно однозначно соответствуют функциям вида f: {1,..., n} -> A. А именно, слову w = w1... wn, соответствует функция fw(i) = wi, i = 1, ..., n. Языком в алфавите A называется произвольное множество слов этого алфавита . На языках, как и на множествах, определены операции объединения, пересечения и разности. Язык, включающий все слова в алфавите A ( в том числе и пустое), обычно обозначается через A*. Дополнение языка L \subseteq  A^{*} это язык L = A* \ L.

Лекция 1: 123 || Лекция 2 >
Елена Алексеевская
Елена Алексеевская

Это в лекции 3.

Татьяна Дембелова
Татьяна Дембелова

Почему в вводной лекции курса Основы дискретной математики одним из свойств отношения частичного порядка упоминается антирефлексивность? Посмотрела в других источниках, там -0  рефлексивность... http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0