Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 11506 / 2211 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 7:

Предельный переход и непрерывность

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >

Для вычисления таких пределов необходимо преобразовать (раскрыть) неопределенность \frac {f(x)}{g(x)} так, чтобы ее предел уже не давал неопределенность.

Пример.Раскроем некоторые неопределенности:

1.

\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty} \frac
{3x^3+x^2-1}{5x^3+6x^2+x+2} =
\lim\limits_{x\to \infty} \frac {3+\frac 1x-\frac {1}{x^3}} {5+\frac
6x+\frac {1}{x^2}+\frac {2}{x^3} } =\\
\newline=
\frac {\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(3+\frac 1x-\frac {1}{x^3} \Bigr)}
      {\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(5+\frac 6x+
        \frac {1}{x^2}+\frac {2}{x^3} \Bigr)} =
\frac {3+0-0}{5+0+0+0} =\frac 35.

2.

\displaystyle \lim\limits_{x\to 3} \frac {x^2-4x+3}{x^2-9} =
\lim\limits_{x\to 3}
\frac {x-1}{x+3} =\frac 26=\frac 13.

3.

\displaystyle \lim\limits_{x\to 1} \frac
{x-1}{\sqrt{x+3}-2} =
\lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}
{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)} =\\
\newline= \lim\limits_{x\to 1} \frac {(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1} =
\lim\limits_{x\to 1} (\sqrt{x+3}+2) =4.

Теорема.Если y(x) - бесконечно малая величина при x\to x_0, то справедливы следующие соотношения эквивалентности:

\sin y\sim y, \\
  \tg y \sim  y, \\
  \arcsin y \sim y, \\
  \arctg y \sim y, \\
  1-\cos  y \sim y^2/2, \\
  \log_a(1+y) \sim  y, \\
  a^y-1\sim  y \ln a, \\
  (1+y)^n -1 \sim  ny, \\
  \sqrt[n]{1+y}-1  \sim y/n.

Пример. В частности, используя 7-е и 9-е соотношения, вычислим

  1. \displaystyle \lim\limits_{x\to 0} \frac {e^x-1}{\sqrt[3]{1-x}-1} =
\lim\limits_{x\to 0} \frac {x}{\frac {1}{3}\cdot (-x)} =-3;
  2. \displaystyle \lim\limits_{x\to 0} \frac {\arctg
\sqrt{x}}{\sin\sqrt[3]x} =
\lim\limits_{x\to 0} \frac {\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} =
\lim\limits_{x\to 0} \sqrt[6]{x}=0.

Перейдем к функциям многих переменных, ограничиваясь двумя переменными: z=f(x,y).

Последовательность точек M1(x1,y1), M2(x2,y2), ..., Mn(xn,yn), ... сходится к точке M0(x0,y0), если для каждой точки Mn расстояние ее до точки M0 стремится к нулю при n\to \infty: |\overrightarrow{M_nM_0}| = \sqrt{(x_n-x_0)^2 + (y_n-y_0)^2} \to 0.

Пример.Рассмотрим пределы, вычисляемые непосредственной подстановкой координат предельной точки: \lim\limits_{(x,y)\to (1, 2)}(x^2+y^2-2) =3. Наоборот, функция z=\frac {x^2-y^2}{x^2+y^2} при (x,y)\to (0, 0) не имеет предела. Действительно, если выбрать последовательность точек {Mi} = {(x1,0), (x2,0), ..., (xn,0)}, то

\lim _{\substack{ {x\to 0} \\ {y\to 0} }}
   f(x,y) = \lim\limits_{n\to \infty} \frac {x_n^2-y^2_n}{x^2_n+y^2_n} =
  \lim _{n\to \infty} \frac {x^2_n}{x^2_n} =1.
Если же выбрать последовательность точек {Mi} = {(0,y1), (0,y2), ..., (0,yn)}, то
\lim _{\substack{ {x\to 0} \\ {y\to 0} }}
  f(x,y) = \lim\limits_{n\to \infty} \frac {0-y^2_n}{0+y^2_n} =-1.
Так как точки Mi выбраны произвольно и предел не должен зависеть от способа выбора точки Mi и способа их стремления к точке M0(x0,y0), то предел функции в этой точке не существует.

Пусть задана функция y=f(x) с областью определения D(f) и областью изменения E(f). Возьмем произвольную точку x_0\in D(f) и приращение аргумента - число \Delta x, такое, что x=x_0+\Delta x\in D(f). Приращение функции в точке x0 будет равно (см. рис. 7.3):

\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).

Приращения аргумента и функции

Рис. 7.3. Приращения аргумента и функции

Дадим некоторые определения предела функции (различающиеся своими подходами).

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x_0 \in D(f), если из \Delta x\to 0 следует, что \Delta y\to 0, то есть бесконечно малым приращениям \Delta x аргумента x соответствуют бесконечно малые приращения \Delta y функции f(x) .

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x_0\in D(f), если

\forall \varepsilon >0 \ \ \exists \delta >0\,:  \quad
  |\Delta x|=|x-x_0|<\delta \ \implies \ |\Delta y|=| f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

Сравнивая это определение с определением предела функции f(x) при x\to 0, заключаем, что можно дать эквивалентное третье определение непрерывной функции.

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x_0\in D(f), если \lim _{x\to x_0} f(x) = f(x_0).

Функция, непрерывная в каждой точке x\in X\subset D(f), называется непрерывной на всем множестве X .

Пример.Функция y=x2 непрерывна в каждой точке x_0 \in D(y), поскольку \Delta y = (x+\Delta x)^2-x^2 =2x\Delta x + (\Delta x)^2 и если \Delta x \to 0, то \Delta y \to 0.

Если функция y=f(x) в точке x0 не является непрерывной, то точка x=x0 называется точкой разрыва функции .

Разрыв у функции может быть по двум причинам:

  1. Точка x_0\notin D(f) и поэтому f(x0), f(x_0+\Delta x) не определены, или f(x_0)=\pm \infty.
  2. Из того, что \Delta x\to 0, не следует, что \Delta y\to 0.

Пример.Пусть f(x)=\frac 1x. Точка x0=0 - точка разрыва, так как f(0)=\infty. Функция

\begin{cases}
  x, & x\le 0, \\
  x+1, & x>0
\end{cases}
имеет в точке x0=0 разрыв, так как при \Delta x>0 она стремится к 1, а при \Delta x<0 - стремится к 0, то есть предел в точке x0=0 не существует.

Теорема Вейерштрасса.Функция f(x), непрерывная на [a;b], принимает на этом промежутке свое наибольшее (M) и наименьшее (m) значения.

Доказательства (строгого) этой теоремы мы не приводим. Ее суть очевидна геометрически: если график - непрерывная линия на отрезке, на этой линии есть хотя бы одна наиболее "высокая" и наиболее "низкая" точка.

Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y).

Приращением функции z=f(x,y) по переменной x называется разность вида: \Delta _xz=f(x+\Delta x,y)-f(x,y), а приращением по y - \Delta _yz=f(x,y+\Delta y)-f(x,y) . Приращение ( полное приращение ) функции - это \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) .

Непрерывное и дискретное не существуют друг без друга, переходят друг в друга, взаимно дополняют и взаимно обогащают друг друга. Дискретность невозможна без непрерывности при каких-то условиях. Непрерывность реализуется через дискретность.

Пример.Непрерывность функции определяется через дискретность - приращения аргумента и значения функции. Приращения функции невозможно рассматривать ни на одном промежутке [x;x+\Delta x] изменения аргумента, не допустив непрерывности функции на этом промежутке.

Ниже мы рассмотрим и другие примеры непрерывного и дискретного, их взаимодействия и взаимообогащения.

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....