Кабардино-Балкарский государственный университет
Опубликован: 18.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 11506 / 2211 | Оценка: 4.16 / 4.04 | Длительность: 14:52:00
ISBN: 978-5-9556-0105-2
Специальности: Математик
Лекция 7:

Предельный переход и непрерывность

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >

Если a=0, то функция f(x) при x\to x_0 называется бесконечно малой . Если a=-\infty ( +\infty ), то функция называется бесконечно большой . Функция f(x) - бесконечно малая при x\to x_0, если \lim\limits_{x\to x_0} f(x)=0, и бесконечно большая при x\to x_0, если \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\pm \infty (заметим, что это не предел во введенном выше смысле, так как a=\pm \infty - не число). Поэтому полезно пользоваться эквивалентным определением (равенством) для бесконечно больших величин: \lim\limits_{x\to x_0}\frac {1}{f(x)}=0.

Бесконечно малые и большие нельзя путать с очень малыми или большими, но все же конечными, числами.

Пример.Функция f(x)=10-100 - не бесконечно малая, f(x)=100100 - не бесконечно большая.

Пример.Функция f(x)=x2, x\to x_0=0 - бесконечно малая; f(x)=x2, x\to x_0=\infty - бесконечно большая; f(x)=\frac {1}{x-1}, x\to x_0=1 - бесконечно большая; f(x)=x-1, x\to x_0=1 - бесконечно малая.

Теорема существования числа e .Последовательность {xn}, где

x_n=\Bigl(1+\frac {1}{n}\Bigr)^n
n=1{,}2, \dotsc сходится и
\lim\limits_{n\to \infty} \Bigl(1+\frac 1n \Bigr)^n=e, \quad 2<e=const <3.

Впервые ввел это число Леонард Эйлер в XVII веке. Число e - иррациональное число. Приближенное значение e=2,718281828.... С этим числом связаны экспоненциальная функция или экспонента (обозначается как ex или \exp(x) ) и натуральные логарифмы или неперовы логарифмы, предложенные Джоном Непером в XVI веке (обозначаемые как \ln x ). Число e играет большую роль в различных областях науки.

Пример.Рост народонаселения, рост количества бактерий, рост растений, рост некоторой суммы капитала a при процентной ставке, равной \frac 1n его доли, где n - количество лет, а также ряд других процессов описываются экспоненциальными функциями.

В математике часто используют так называемые замечательные пределы, то есть пределы специального вида.

Первым замечательным пределом называется предел

\lim\limits_{x\to 0} \frac {\sin x}{x} =1.

Второй замечательный предел - предел

\lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(1+\frac 1x\Bigr)^x=e.

Здесь e - натуральное число (натуральное основание). Из этого соотношения можно получить ряд полезных следствий:

\begin{aligned}
    & \lim\limits_{x\to 0} (1+x)^{\frac {1}x} =e, \\
    & \lim\limits_{x\to \infty} \Bigl(1+\frac {\alpha }{x} \Bigr)^{\beta
x}=e^{\alpha \beta }, \\
    & \lim\limits_{x\to \infty} (1+\alpha x) ^{\frac {\beta }{x}}
=e^{\alpha \beta }.
  \end{aligned}

Эти пределы находят много различных приложений.

Пример.Закон роста народонаселения (который в начальный период равен k0 и нет пока смертности и лимитирующих факторов) имеет вид

k(t) = k_0 e^{\frac {pt}{100}}.

Сформулируем свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин.

Теорема.

  1. Если f(x) при x\to x_0 - бесконечно малая, то \frac {1}{f(x)} при x\to x_0 - бесконечно большая.
  2. Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых при x\to x_0 есть бесконечно малые при x \to x_0, то есть если
    \lim\limits_{x\to x_0} f_1(x) =
  \lim\limits_{x\to x_0} f_2(x) = \cdot = 
  \lim\limits_{x\to x_0} f_n(x) = 0,
    то
    \lim\limits_{x\to x_0} [f_1(x) \pm f_2(x) \pm \dotsc \pm f_n(x)] =0, \quad
  \lim\limits_{x\to x_0} [f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \dotsc \cdot f_n(x)] =0.
  3. Произведение бесконечно малых (при x \to x_0 ) на функцию, ограниченную в окрестности точки x=x0, есть бесконечно малая при x \to x_0.
  4. Если f(x) при x\to x_0 - бесконечно малая, а предел функции g(x) при x \to x_0 не равен нулю, то \frac {f(x)}{g(x)} - бесконечно малая величина при x \to x_0.
  5. Сумма, произведение конечного числа бесконечно больших при x\to x_0 является бесконечно большим при x\to x_0.

Случаи, когда имеем \frac {f(x)}{g(x)}, где пределы числителя и знаменателя одновременно равны либо нулю, либо бесконечности, называют неопределенностями . Коротко записывают эти неопределенности так:

1)\ \frac 00;\ \  2)\ \frac {\infty}{\infty}.

Пример.Неопределенности дают пределы вида:

 \lim\limits_{x\to 1} \frac {x^2-2x+1}{\sqrt{x+3}-2} =\frac 00, \quad
  \lim\limits_{x\to\infty} \frac {x+1}{x-1} =\frac \infty\infty.

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Оксана Лебедева
Оксана Лебедева

Можно ли, используя функцию Дирихле, построить модель пространства, в котором нет иррациональных чисел, а есть только рациональные числа? Очевидно, нельзя построить плоскость, не используя при этом иррациональные числа, так как плоскость непрерывна. Но пространство обладает бо-льшим числом измерений и может сохранить непрерывность в каком-либо одном из них.

Марат Марат
Марат Марат

в лекции ​8 на второй странице в конце, вторая производная у меня получается 4/x3 ....