НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 17: Алгоритмически неразрешимые проблемы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2487 / 1009 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00

ISBN: 978-5-9556-0062-8

Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

Теги: beta, finite, grammar, xml, автоматы, анализ, булева формула, дерево вывода, контекстно-свободная грамматика, контекстно-свободный язык, метка перехода, моноид, нетерминальный символ, протоколы, регулярные выражения, теория, шаг индукции, элементы

|

Вам нравится? Нравится 33 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

16.4. Проблема автоматности

Лемма 16.4.1. Пусть $\vec x = ( x_1 , \ldots , x_n )$ , $\vec y = ( y_1 , \ldots , y_n )$ , где $x_i \in \{ a , b \}^*$ , $y_i \in \{ a , b \}^*$ и $x_i y_i \neq \varepsilon$ для всех i. Тогда язык $\pcpm{\vec x , \vec y}$ является автоматным в том и только том случае, когда постовская система соответствия $( \vec x , \vec y )$ не имеет решений.

Доказательство Пусть $(i_1 , \ldots , i_k)$ - решение постовской системы соответствия $( \vec x , \vec y )$ , где $x_i y_i \neq \varepsilon$ для всех i. Положим

$\begin{align*} u &\bydef b a^{i_k} b a^{i_{k-1}} \ldots b a^{i_1} ,\\ v &\bydef x_{i_1} \ldots x_{i_k} ,\\ L_0 &\bydef \{ u \}^* \cdot \{ c \} \cdot \{ v \}^* . \end{align*}$

Легко проверить, что $u \neq \varepsilon$ , $v \neq \varepsilon$ и язык L₀ является автоматным. Очевидно, что

$\pcpl{\vec x} \cap \pcpl{\vec y} \cap L_0 = \{ u^m c v^m \mid m > 0 \} .$

Как было установлено в упражнении 3.4.2, язык $\pcpl{\vec x} \cap \pcpl{\vec y} \cap L_0$ не является автоматным. Согласно теореме 3.2.1 язык $\pcpl{\vec x} \cap \pcpl{\vec y}$ не является автоматным. Следовательно, и язык $\pcpm{\vec x , \vec y}$ не является автоматным.

Обратно, если постовская система соответствия $( \vec x , \vec y )$ не имеет решений, то $\pcpm{\vec x , \vec y} = \{ a , b , c \}^*$ , а этот язык является автоматным.

Теорема 16.4.2. Пусть $| \Sigma | \geq 2$ . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстно-свободной грамматике G над алфавитом $\Sigma$ узнать, является ли автоматным язык L(G).

Доказательство Докажем утверждение теоремы для случая $| \Sigma | \geq 3$ . Из леммы 16.4.1 следует, что если бы проблема распознавания автоматности языка L(G) для контекстно-свободных грамматик над алфавитом $\Sigma$ была разрешима, то также была бы разрешима проблема соответствий Поста для постовских систем соответствия $( ( x_1 , \ldots , x_n ) , ( y_1 , \ldots , y_n ) )$ , где $x_i \in \{ a , b \}^*$ , $y_i \in \{ a , b \}^*$ и $x_i y_i \neq \varepsilon$ для всех i. Но тогда была бы разрешима проблема соответствий Поста для всех постовских систем соответствия над алфавитом {a,b} (если $x_i y_i = \varepsilon$ для некоторого i, то рассматриваемая постовская система соответствия имеет решение, а именно (i) ).

Упражнение 16.4.3. Является ли автоматным язык, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; R T , \\ R \; & {\to} \; T R , \\ R \; & {\to} \; a , \\ T \; & {\to} \; T R , \\ T \; & {\to} \; b ? \end{align*}$

Упражнение 16.4.4. Является ли автоматным язык, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} R \; & {\to} \; T R , \\ R \; & {\to} \; a , \\ T \; & {\to} \; R , \\ T \; & {\to} \; b R ? \end{align*}$

Упражнение 16.4.5. Является ли автоматным язык, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} R \; & {\to} \; T R , \\ R \; & {\to} \; a , \\ T \; & {\to} \; R T , \\ T \; & {\to} \; b ? \end{align*}$

Упражнение 16.4.6. Является ли автоматным язык, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; R T , \\ R \; & {\to} \; T R , \\ R \; & {\to} \; a , \\ T \; & {\to} \; R T , \\ T \; & {\to} \; b ? \end{align*}$

16.5. Проблемы контекстной свободности

Определение 16.5.1. Пусть $\Sigma_3 = \{ a , b , c \}$ , $\vec x = ( x_1 , \ldots , x_n )$ , $\vec y = ( y_1 , \ldots , y_n )$ , где $x_i \in \{ a , b \}^*$ и $y_i \in \{ a , b \}^*$ для всех i. Обозначим через $\pcpk{\vec x , \vec y}$ язык $\pcpl{\vec x} \cdot \{c\} \cdot \pcpl{\vec y} \reverse$ .

Лемма 16.5.2. Язык $\pcpk{\vec x , \vec y}$ является контекстно-свободным при любых $\vec x$ и $\vec y$ .

Доказательство Утверждение следует из теорем 9.4.4 и 9.4.2.

Лемма 16.5.3. Рассмотрим алфавит $\Sigma_3 = \{ a , b , c \}$ . Пусть $\vec x = ( x_1 , \ldots , x_n )$ и $\vec y = ( y_1 , \ldots , y_n )$ , где $x_i \in \{ a , b \}^*$ , $y_i \in \{ a , b \}^*$ и $x_i y_i \neq \varepsilon$ для всех i. Тогда язык $\pcpk{\vec x , \vec y} \cap \{ z c z \reverse \mid z \in \Sigma_3 ^* \}$ является контекстно-свободным в том и только том случае, когда постовская система соответствия $( \vec x , \vec y )$ не имеет решений.

Доказательство. Пусть $(i_1 , \ldots , i_k)$ - решение постовской системы соответствия $( \vec x , \vec y )$ , где $x_i y_i \neq \varepsilon$ для всех i. Положим

$\begin{align*} u &\bydef b a^{i_k} b a^{i_{k-1}} \ldots b a^{i_1} ,\\ v &\bydef x_{i_1} \ldots x_{i_k} ,\\ L_0 &\bydef \{ u \}^* \cdot \{ c \} \cdot \{ v \}^* \cdot \{ c \} \cdot \{ v \reverse \}^* \cdot \{ c \} \cdot \{ u \reverse \}^* . \end{align*}$

Легко проверить, что $u \neq \varepsilon$ , $v \neq \varepsilon$ и язык L₀ является автоматным. Очевидно, что

$\pcpk{\vec x , \vec y} \cap \{ z c z \reverse \mid z \in \Sigma_3 ^* \} \cap L_0 = \{ u^m c v^m c ( v \reverse )^m c ( u \reverse)^m \mid m > 0 \} .$

Можно доказать (например, используя лемму 9.1.1), что язык $\{ u^m c v^m c ( v \reverse )^m c ( u \reverse)^m \mid m > 0 \}$ не является контекстно-свободным. Согласно теореме 9.6.1 язык $\pcpk{\vec x , \vec y} \cap \{ z c z \reverse \mid z \in \Sigma_3 ^* \}$ также не~является контекстно-свободным.

Обратно, если постовская система соответствия $( \vec x , \vec y )$ не имеет решений, то $\pcpk{\vec x , \vec y} \cap \{ z c z \reverse \mid z \in \Sigma_3 ^* \} = \varnothing$ .

Теорема 16.5.4. Пусть $| \Sigma | \geq 2$ . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольным контекстно-свободным грамматикам G₁ и G₂ над алфавитом $\Sigma$ узнать, является ли контекстно-свободным язык $L(G_1) \cap L(G_2)$ .

Доказательство. Достаточно построить по постовской системе соответствия $( \vec x , \vec y )$ , где $\vec x = ( x_1 , \ldots , x_n )$ , $\vec y = ( y_1 , \ldots , y_n )$ и для всех i выполняется $x_i \in \{ a , b \}^*$ , $y_i \in \{ a , b \}^*$ и $x_i y_i \neq \varepsilon$ , контекстно-свободную грамматику G₁, порождающую язык $\pcpk{\vec x , \vec y}$ , и контекстно-свободную грамматику G₂, порождающую язык $\{ z c z \reverse \mid z \in \Sigma_3 ^* \}$ . С учетом леммы 16.5.3 неразрешимость рассматриваемой задачи сводится к неразрешимости проблемы соответствий Поста рассуждением, аналогичным приведенному в доказательстве теоремы 16.4.2.

Лемма 16.5.5. Рассмотрим алфавит $\Sigma_3 = \{ a , b , c \}$ . Язык $\Sigma_3 ^* \sminus (\pcpk{\vec x , \vec y} \cap \{ z c z \reverse \mid z \in \Sigma_3 ^* \})$ является контекстно-свободным при любых $\vec x$ и $\vec y$ .

Доказательство. Положим $L_0 = \{ w \in \Sigma_3 ^* \mid | w |_c = 1 \}$ . Язык $\Sigma_3 ^* \sminus (\pcpk{\vec x , \vec y} \cap \{ z c z \reverse \mid z \in \Sigma_3 ^* \})$ можно представить в виде объединения пяти контекстно-свободных языков

$\begin{align*} {} L_1 &= \{ w \in \Sigma_3 ^* \mid | w |_c \neq 3 \} ,\\ L_2 &= \{ v_1 c v_2 c v_3 c v_4 \mid v_1 , v_2 , v_3 , v_4 \in \{ a , b \}^* \commaand v_1 \neq v_4 \reverse \} ,\\ L_3 &= \{ v_1 c v_2 c v_3 c v_4 \mid v_1 , v_2 , v_3 , v_4 \in \{ a , b \}^* \commaand v_2 \neq v_3 \reverse \} ,\\ L_4 &= (( \Sigma_3 ^* \sminus \pcpl{\vec x} ) \cap L_0 ) \cdot \{ c \} \cdot L_0 ,\\ L_5 &= L_0 \cdot \{ c \} \cdot (( \Sigma_3 ^* \sminus \pcpl{\vec y} ) \reverse \cap L_0 ) . \end{align*}$

Теорема 16.5.6. Пусть $| \Sigma | \geq 2$ . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстно-свободной грамматике G над алфавитом $\Sigma$ узнать, является ли контекстно-свободным язык $\Sigma ^* \sminus L(G)$ .

Доказательство. Рассмотрим алфавит $\Sigma_3 = \{ a , b , c \}$ . Достаточно построить по постовской системе соответствия $( \vec x , \vec y )$ , где $\vec x = ( x_1 , \ldots , x_n )$ , $\vec y = ( y_1 , \ldots , y_n )$ и для всех i выполняется $x_i \in \{ a , b \}^*$ , $y_i \in \{ a , b \}^*$ и $x_i y_i \neq \varepsilon$ , контекстно-свободную грамматику G, порождающую язык $\Sigma_3 ^* \sminus (\pcpk{\vec x , \vec y} \cap \{ z c z \reverse \mid z \in \Sigma_3 ^* \})$ . С учетом леммы 16.5.5 неразрешимость рассматриваемой задачи сводится к~неразрешимости проблемы соответствий Поста рассуждением, аналогичным приведенному в доказательстве теоремы 16.4.2.

Лемма 16.5.7. Рассмотрим алфавит $\Sigma_3 = \{ a , b , c \}$ . Язык $\pcpk{\vec x , \vec y} \cap \{ z c z \reverse \mid z \in \Sigma_3 ^* \}$ является контекстным при любых $\vec x$ и $\vec y$ .

Теорема 16.5.8. Пусть $| \Sigma | \geq 2$ . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной контекстной грамматике G над алфавитом $\Sigma$ узнать, является ли контекстно-свободным язык L(G).

Доказательство. Достаточно построить по постовской системе соответствия $( \vec x , \vec y )$ , где $\vec x = ( x_1 , \ldots , x_n )$ , $\vec y = ( y_1 , \ldots , y_n )$ и для всех i выполняется $x_i \in \{ a , b \}^*$ , $y_i \in \{ a , b \}^*$ и $x_i y_i \neq \varepsilon$ , контекстную грамматику G, порождающую язык $\pcpk{\vec x , \vec y} \cap \{ z c z \reverse \mid z \in \Sigma_3 ^* \}$ .

Упражнение 16.5.9. Является ли контекстно-свободным язык $\{ a , b \}^* \sminus L$ , где язык L порождается грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; \varepsilon , \\ S \; & {\to} \; aSbS ? \end{align*}$

Дальше >>

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Алгоритмически неразрешимые проблемы

16.4. Проблема автоматности

16.5. Проблемы контекстной свободности

Вопросы и ответы