НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 15: Алгоритмические проблемы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2521 / 1036 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00

ISBN: 978-5-9556-0062-8

Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

14.3. Массовые задачи

Определение 14.3.1. Массовой задачей (problem) называется бесконечная серия "однотипных" индивидуальных задач (instance), каждая из которых имеет определенный ответ. С каждой массовой задачей связана некоторая фиксированная схема кодирования (encoding scheme), которая отображает индивидуальные задачи в их коды - слова в некотором фиксированном алфавите. При этом требуется, чтобы множество кодов всех индивидуальных задач было разрешимым.

Определение 14.3.2. Задачей распознавания (decision problem) называется массовая задача, в которой ответами индивидуальных задач могут быть только "да" и "нет" (то есть существует только два возможных ответа).

Пример 14.3.3. Зафиксируем некоторый алфавит $\Sigma$ . Рассмотрим следующие однотипные индивидуальные задачи: даны два слова $x \in \Sigma ^*$ и $y \in \Sigma ^*$ , необходимо выяснить, является ли слово x подсловом слова y.

Пусть # - новый символ, не принадлежащий алфавиту $\Sigma$ . Кодом индивидуальной задачи про конкретные слова x и y будем считать слово x#y в алфавите $\Sigma \cup \{ \# \}$ .

Эта массовая задача является задачей распознавания.

Определение 14.3.4. Алгоритмическая проблема - проблема, в которой требуется найти алгоритм для решения массовой задачи. Если такой алгоритм существует, то данная проблема называется алгоритмически разрешимой или просто разрешимой (decidable, solvable), в противном случае ее называют алгоритмически неразрешимой (undecidable, unsolvable).

Замечание 14.3.5. Алгоритмическая проблема, относящаяся к некоторой задаче распознавания, алгоритмически разрешима тогда и только тогда, когда разрешимо множество кодов индивидуальных задач с ответом "да".

Пример 14.3.6. Рассмотрим массовую задачу из примера 14.3.3. Соответствующая алгоритмическая проблема разрешима, так как разрешим язык $\{ x \# u x v \mid x \in \Sigma ^* ,\ u \in \Sigma ^* \commaand v \in \Sigma ^* \}$ .

Пример 14.3.7. Зафиксируем некоторый алфавит $\Sigma$ . Рассмотрим следующие однотипные индивидуальные задачи: дана порождающая грамматика

$G = \lalg \{ A_1 , \ldots , A_n \} , \Sigma , P , A_1 \ralg ,$

необходимо выяснить, является ли эта грамматика праволинейной.

Для полной строгости необходимо договориться, как кодировать грамматику G в виде слова. Например, можно использовать алфавит $\Sigma \cup \{ \heartsuit , \spadesuit , 0 , 1 \}$ , где $\heartsuit $, $ \spadesuit $, $ 0 $, $ 1$ - дополнительные символы, не принадлежащие множеству $\Sigma$ . Вспомогательный символ A_i заменим на слово, состоящее из символа $\heartsuit$ и кода числа i в двоичной системе счисления. В каждом правиле $\alpha \tto \beta$ добавим символ $\spadesuit$ на месте $\to$ и после слова $\beta$ . Кодом грамматики G будем считать результат конкатенации кодов всех правил из множества P. Например, грамматика

$\begin{align*} A_1 \; & {\to} \; a , \\ A_1 \; & {\to} \; A_2 A_1 , \\ A_2 \; & {\to} \; a A_3 , \\ A_3 \; & {\to} \; \varepsilon , \\ A_3 \; & {\to} \; b A_1 \end{align*}$

(над алфавитом $\Sigma = \{ a , b \}$ ) кодируется словом

$\heartsuit 1 \spadesuit a \spadesuit \heartsuit 1 \spadesuit \heartsuit 1 0 \heartsuit 1 \spadesuit \heartsuit 1 0 \spadesuit a \heartsuit 1 1 \spadesuit \heartsuit 1 1 \spadesuit \spadesuit \heartsuit 1 1 \spadesuit b \heartsuit 1 \spadesuit .$

Легко понять, что соответствующая алгоритмическая проблема (проблема проверки праволинейности) разрешима.

Упражнение 14.3.8. Разрешима ли алгоритмическая проблема распознавания четности длины слова над алфавитом {a,b}?

14.4*. Грамматики типа 0

Теорема 14.4.1. Класс языков, порождаемых грамматиками типа 0, совпадает с классом перечислимых языков.

Доказательство можно найти, например, в [СерГал с. 24-26].

Упражнение 14.4.2. Выводимо ли слово aab в грамматике

$\begin{align*} S \; & {\to} \; S b , & T a \; & {\to} \; a a T , \\ S \; & {\to} \; S T , & T b \; & {\to} \; a b , \\ S \; & {\to} \; S U , & U a a a \; & {\to} \; a a U , \\ S \; & {\to} \; \varepsilon , & U a b \; & {\to} \; b ? \end{align*}$

Упражнение 14.4.3. Выводимо ли слово aaaaaaaab в грамматике

$\begin{align*} S \; & {\to} \; S b , & T a \; & {\to} \; a a T , \\ S \; & {\to} \; S T , & T b \; & {\to} \; a b , \\ S \; & {\to} \; S U , & U a a a \; & {\to} \; a a U , \\ S \; & {\to} \; \varepsilon , & U a b \; & {\to} \; b ? \end{align*}$

Замечание 14.4.4. Неизвестно, порождает ли грамматика

$\begin{align*} R \; & {\to} \; Ra , & Ta \; & {\to} \; aaT , \\ R \; & {\to} \; S , & Tb \; & {\to} \; ab , \\ S \; & {\to} \; Sb , & Uaaa \; & {\to} \; aaU , \\ S \; & {\to} \; ST , & Uab \; & {\to} \; b \\ S \; & {\to} \; SU , \\ S \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}$

все слова в алфавите {a,b}.

Упражнение 14.4.5. Пусть $\Sigma = \{ a , b , c , d , e \}$ . Рассмотрим грамматику

$\begin{align*} R \; & {\to} \; ccdcdcddccddcdccca , & ce \; & {\to} \; eca , \\ ac \; & {\to} \; ca , & eca \; & {\to} \; ce , \\ ca \; & {\to} \; ac , & de \; & {\to} \; edb , \\ bc \; & {\to} \; cb , & edb \; & {\to} \; de , \\ cb \; & {\to} \; bc , & cca \; & {\to} \; ccae , \\ ad \; & {\to} \; da , & ccae \; & {\to} \; cca . \\ da \; & {\to} \; ad , \\ bd \; & {\to} \; db , \\ db \; & {\to} \; bd , \end{align*}$

Выводимо ли в ней слово ccdcdcddccddcdcccabba?

Упражнение 14.4.6. Является ли разрешимым язык, порождаемый грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; c S , & ac \; & {\to} \; ca , & cdc \; & {\to} \; cdc R , \\ S \; & {\to} \; d S , & ca \; & {\to} \; ac , & R cca \; & {\to} \; cc R , \\ S \; & {\to} \; aa , & bc \; & {\to} \; cb , & R ddb \; & {\to} \; dd R , \\ & & cb \; & {\to} \; bc , & R cdd \; & {\to} \; cdd T , \\ & & ad \; & {\to} \; da , & T cc \; & {\to} \; cca T , \\ & & da \; & {\to} \; ad , & T dd \; & {\to} \; ddb T , \\ & & bd \; & {\to} \; db , & T cdc \; & {\to} \; cdc ? \\ & & db \; & {\to} \; bd , \end{align*}$

Определение 14.4.7. Порождающая грамматика в нормальной форме - это порождающая грамматика, в которой каждое правило имеет вид $A \to a$ , $A \to B C$ или $A B \to \varepsilon$ , где $A \in N$ , $B \in N$ , $C \in N$ , $a \in \Sigma$ .

Теорема 14.4.8. Каждая порождающая грамматика эквивалентна некоторой порождающей грамматике в нормальной форме.

Упражнение 14.4.9. Существует ли такая порождающая грамматика G, что язык $L(G) \sminus \{ \varepsilon \}$ не порождается ни одной грамматикой типа 0?

Дальше >>

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Алгоритмические проблемы

14.3. Массовые задачи

14.4*. Грамматики типа 0

Вопросы и ответы