Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2138 / 688 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Специальности: Математик
Лекция 12:

Дополнительные свойства контекстно-свободных языков

< Лекция 11 || Лекция 12: 123 || Лекция 13 >

11.2. Гомоморфизмы и контекстно-свободные языки

Теорема 11.2.1. Для любого гомоморфизма h \colon \Sigma_1^* \farrow \Sigma_2^* и контекстно-свободного языка L \subseteq \Sigma_1^* язык h(L) является контекстно-свободным.

Доказательство. Приведем здесь доказательство, использующее МП-автоматы, хотя эту теорему легко доказать и с помощью контекстно-свободных грамматик. Пусть язык L распознается МП-автоматом \lalg Q , \Sigma_1 , \Gamma , \Delta , I , F \ralg. Тогда язык h(L) распознается МП-автоматом \lalg Q , \Sigma_2 , \Gamma , \Delta' , I , F \ralg, где

\Delta' = \{
\lp \lp p , h ( x ) , \beta \rp ,
\lp q , \gamma \rp \rp
\mid \lp \lp p , x , \beta \rp ,
\lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta \} .

Пример 11.2.2. Пусть \Sigma_1 = \{ a , b , c \} и \Sigma_2 = \{ a , b \}. Рассмотрим контекстно-свободный язык L, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; aSSc , \\
S \; & {\to} \; b ,
\end{align*}
и гомоморфизм h \colon \Sigma_1^* \farrow \Sigma_2^*, заданный равенствами h(a) = a, h(b) = bba и h(c) = a. Тогда язык h(L) порождается контекстно-свободной грамматикой
\begin{align*}
S \; & {\to} \; aSSa , \\
S \; & {\to} \; bba ,
\end{align*}

Упражнение 11.2.3. Пусть гомоморфизм h \colon \{a,b,c\}^* \farrow \{a,b\}^* задан соотношениями h(a) = b, h(b) = \varepsilon, h(c) = a. Рассмотрим язык L, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a , \\
S \; & {\to} \; b S , \\
S \; & {\to} \; c S S .
\end{align*}
Найти контекстно-свободную грамматику для языка h(L).

Теорема 11.2.4. Для любого гомоморфизма h \colon \Sigma_1^* \farrow \Sigma_2^* и контекстно-свободного языка L \subseteq \Sigma_2^* язык h-1(L) является контекстно-свободным.

Доказательство. Введем обозначение

\cala = \{ x \in \Sigma_2 ^* \mid
 x \suffix h ( a )
 \mathspace\text{для некоторого}\mathspace a \in \Sigma_1 \} .
Пусть язык L распознается МП-автоматом \lalg Q , \Sigma_2 , \Gamma , \Delta , I , F \ralg. Без ограничения общности можно считать, что для каждого перехода \lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp
\in \Delta выполняется неравенство | x | \leq 1. Можно проверить, что в этом случае язык h-1(L) распознается МП-автоматом \lalg Q' , \Sigma_1 , \Gamma , \Delta' , I' , F' \ralg, где
\begin{align*}
 Q' &= \cala \times Q ,\\
 I' &= \{ \varepsilon \} \times I ,\\
 F' &= \{ \varepsilon \} \times F ,\\
\Delta' &=
\{ \lp \lp \lp \varepsilon , p \rp ,
a , \varepsilon \rp ,
\lp \lp h ( a ) , p \rp , \varepsilon \rp \rp
\mid a \in \Sigma_1 \commaand p \in Q \} \cup {} \\
&\myqquad \cup
\{ \lp \lp \lp x w , p \rp , \varepsilon , \beta \rp ,
\lp \lp w , q \rp , \gamma \rp \rp
\squeeze{\mid} \lp \lp p , x , \beta \rp ,
\lp q , \gamma \rp \rp \squeeze{\in} \Delta \commaand
x w \squeeze{\in} \cala \} .
\end{align*}

Пример 11.2.5. Пусть \Sigma_1 = \{ c , d , e \} и \Sigma_2 = \{ a , b \}. Рассмотрим гомоморфизм h \colon \Sigma_1^* \farrow \Sigma_2^*, заданный равенствами h(c) = aa, h(d) = b и h(e) = bba. Пусть контекстно-свободный язык L распознается МП-автоматом \lalg Q , \Sigma_2 , \Gamma , \Delta , I , F \ralg, где Q = {p}, \Gamma = \{ A \}, I = {p}, F = {p},

\Delta = \{
\lp \lp p , a , \varepsilon \rp ,
\lp p , A \rp \rp ,\
\lp \lp p , b , A \rp ,
\lp p , \varepsilon \rp \rp
\} .
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix {
  *=[o][F=]{p}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \rloop{0,1} ^{a,\varepsilon:A}
 \rloop{0,-1} ^{b,A:\varepsilon}
}
Тогда язык h-1(L) распознается МП-автоматом \lalg Q' , \Sigma_1 , \Gamma , \Delta' , I' , F' \ralg, где Q' = \{ p_{\varepsilon} , p_{a} , p_{aa} , p_{b} , p_{ba} , p_{bba}
\}, I' = \{ p_{\varepsilon} \}, F' = \{ p_{\varepsilon} \} и
\begin{align*}
\Delta' &= \{
\lp \lp p_{\varepsilon} , c , \varepsilon \rp ,
\lp p_{aa} , \varepsilon \rp \rp ,\
\lp \lp p_{\varepsilon} , d , \varepsilon \rp ,
\lp p_{b} , \varepsilon \rp \rp ,\
\lp \lp p_{\varepsilon} , e , \varepsilon \rp ,
\lp p_{bba} , \varepsilon \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp p_{a} , \varepsilon , \varepsilon \rp ,
\lp p_{\varepsilon} , A \rp \rp ,\
\lp \lp p_{aa} , \varepsilon , \varepsilon \rp ,
\lp p_{a} , A \rp \rp ,\
\lp \lp p_{b} , \varepsilon , A \rp ,
\lp p_{\varepsilon} , \varepsilon \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp p_{ba} , \varepsilon , A \rp ,
\lp p_{a} , \varepsilon \rp \rp ,\
\lp \lp p_{bba} , \varepsilon , A \rp ,
\lp p_{ba} , \varepsilon \rp \rp
\} .
\end{align*}
\objectwidth={7.5mm} \objectheight={7.5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix @=11mm{
  %
& *=[o][F-]{p_{aa}}
 \ar  "1,3"  ^{\varepsilon,\varepsilon:A}
& *=[o][F-]{p_{a}}
 \ar  "2,4"  _{\varepsilon,\varepsilon:A}
& 
\\
  *=[o][F-]{p_{bba}}
 \ar  "2,2"  ^{\varepsilon,A:\varepsilon}
& *=[o][F-]{p_{ba}}
 \ar  "1,3"  _{\varepsilon,A:\varepsilon}
& 
& *=[o][F=]{p_{\varepsilon}}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \ar `u^l{[-1,-2]+/u9mm/}_{c}`l^d{[-1,-2]} "1,2"  
 \ar `d_l{[1,-1]}^-{d} "3,3"  
 \ar `r_d{+/r7mm/}`d_l{[1,-1]+/d7mm/}^{e}`l_u{[0,-3]} "2,1"  
\\
  %
& 
& *=[o][F-]{p_{b}}
 \ar  "2,4"  ^{\varepsilon,A:\varepsilon}
& 
}

Язык h-1(L) также порождается контекстно-свободной грамматикой \begin{align*}
S \; & {\to} \; \varepsilon , & T \; & {\to} \; \varepsilon , \\
S \; & {\to} \; cTUdS , & T \; & {\to} \; cTUU ,\\
& & U \; & {\to} \; dT , \\
& & U \; & {\to} \; eT .
\end{align*}

Упражнение 11.2.6. Пусть гомоморфизм h \colon \{a,b,c\}^* \farrow \{a,b\}^* задан соотношениями h(a) = ab, h(b) = aaba, h(c) = b. Рассмотрим язык L, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a S , \\
S \; & {\to} \; a S b S , \\
S \; & {\to} \; b S a S .
\end{align*}
Описать язык h-1(L).

Упражнение 11.2.7. h \colon \{c,d,e\}^* \farrow \{a,b\}^* задан соотношениями h(c) = a, h(d) = ba, h(e) = bb. Рассмотрим язык L, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
B \; & {\to} \; a B B a , \\
B \; & {\to} \; b .
\end{align*}
Найти контекстно-свободную грамматику для языка h-1(L).

Упражнение 11.2.8. Пусть гомоморфизм h \colon \{c,d,e\}^* \farrow \{a,b\}^* задан соотношениями h(c) = bba, h(d) = aa, h(e) = b. Рассмотрим язык L, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a S b S , \\
S \; & {\to} \; \varepsilon .
\end{align*}
Найти контекстно-свободную грамматику для языка h-1(L).

Упражнение 11.2.9. Обозначим через L язык, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a S b , \\
S \; & {\to} \; ba .
\end{align*}
Рассмотрим гомоморфизм h_1 \colon \{a,b,c,d,e,f\}^* \farrow \{a,b,c\}^*, заданный соотношениями

h1(a) = ac ,
 h1(b) = bc ,
 h1(c) = aa ,
 h1(d) = ab ,
 h1(e) = ba ,
 h1(f) = bb ,

и гомоморфизм h_2 \colon \{a,b,c,d,e,f\}^* \farrow \{a,b\}^*, заданный соотношениями

h2(a) = a ,
 h2(b) = b ,
 h2(c) = ab ,
 h2(d) = aa ,
 h2(e) = bb ,
 h2(f) = ba .

Найти контекстно-свободную грамматику, порождающую язык

h_2(h_1^{-1}( L \cdot \{ \varepsilon , c \} )) .

< Лекция 11 || Лекция 12: 123 || Лекция 13 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?