Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2483 / 1007 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Специальности: Математик
Лекция 11:

Автоматы с магазинной памятью

< Лекция 10 || Лекция 11: 123 || Лекция 12 >

10.3*. Автоматы с магазинной памятью с однобуквенными переходами

Теорема 10.3.1. Каждый МП-автомат эквивалентен некоторому МП-автомату \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg, где |Q| = 2 и каждый переход \lp \lp p , x , \beta \rp ,
\lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta удовлетворяет требованиям |x| = 1, | \beta | \leq 1 и | \gamma | \leq 2.

Доказательство. Пусть исходным МП-автоматом распознается контекстно-свободный язык L \subseteq \Sigma ^*. Согласно теореме 8.4.6 язык L \sminus \{ \varepsilon \} порождается некоторой контекстно-свободной грамматикой \lalg N , \Sigma , P , S \ralg, в которой каждое правило имеет вид A \tto a \gamma, где A \in N, a \in \Sigma, \gamma \in N ^* и | \gamma | \leq 2. Аналогично тому, как было сделано при доказательстве теоремы 10.2.1, положим \Gamma = N, Q = {1,2}, I = {1},

\begin{gathered*}
F =
\begin{cases}
\{ 1 , 2 \}, & \; \text{если}\; \varepsilon \in L ,\\
\{ 2 \}, & \; \text{если}\; \varepsilon \notin L ,
\end{cases}
\\
\Delta =
\{ \langle \langle 2 , a ,\! A \rangle ,\! \langle 2 ,\! \gamma \rangle \rangle
\mid
( A \to a \gamma ) \in P \}
\cup
\{ \langle \langle 1 , a ,\! \varepsilon \rangle ,\!
\langle 2 ,\! \gamma \rangle \rangle
\mid
( S \to a \gamma ) \in P \} .
\end{gathered*}

Теорема 10.3.2. Каждый МП-автомат эквивалентен некоторому МП-автомату \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg, в котором каждый переход \lp \lp p , x , \beta \rp ,
\lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta удовлетворяет требованиям |x| = 1, | \beta | \leq 1 и | \gamma | \leq 1.

Доказательство. Пусть исходным МП-автоматом распознается контекстно-вободный язык L \subseteq \Sigma ^*. Согласно теореме 8.4.6 язык L \sminus \{ \varepsilon \} порождается некоторой контекстно-вободной грамматикой G = \lalg N , \Sigma , P , S \ralg, в которой каждое правило имеет один из следующих трех видов: A \tto a, A \tto a B, A \tto a B C, где A \in N, B \in N, C \in N, a \in \Sigma. Легко добиться того, чтобы в правилах грамматики G вспомогательные символы в правой части (то есть символы B и C ) были отличны от начального символа S.

Положим Q = N \cup \{ \bot \}, где \bot \notin N. Далее, положим \Gamma = N,

I = \{ S \} ,\qquad
F =
\begin{cases}
\{ S , \bot \}, &\mathspace\text{если}\mathspace \varepsilon \in L ,\\
\{ \bot \}, &\mathspace\text{если}\mathspace \varepsilon \notin L ,
\end{cases}
\begin{align*}
\Delta &=
\{ \lp \lp A , a , \varepsilon \rp ,
\lp B , C \rp \rp \mid ( A \tto a B C ) \in P \} \cup {} \\
&\myqquad \cup
\{ \lp \lp A , a , \varepsilon \rp ,
\lp B , \varepsilon \rp \rp \mid ( A \tto a B ) \in P \} \cup {} \\
&\myqquad \cup
\{ \lp \lp A , a , D \rp ,
\lp D , \varepsilon \rp \rp \mid
( A \tto a ) \in P \commaand D \in N \sminus \{ S \} \} \cup {} \\
&\myqquad \cup
\{ \lp \lp A , a , \varepsilon \rp ,
\lp \bot , \varepsilon \rp \rp \mid
( A \tto a ) \in P \} .
\end{align*}

Упражнение 10.3.3. Найти для языка, порождаемого грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a T T , \\
S \; & {\to} \; \varepsilon , \\
T \; & {\to} \; b T U , \\
T \; & {\to} \; c , \\
U \; & {\to} \; a T ,
\end{align*}
МП-автомат, в котором каждый переход \lp \lp p , x , \beta \rp ,
\lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta удовлетворяет требованиям |x| = 1, | \beta | \leq 1 и | \gamma | \leq 1.

Упражнение 10.3.4. Найти для языка, порождаемого грамматикой

\begin{align*}
S \; & {\to} \; a T U , \\
T \; & {\to} \; a U T , \\
T \; & {\to} \; b , \\
U \; & {\to} \; b T , \\
U \; & {\to} \; a ,
\end{align*}
МП-автомат, в котором каждый переход \lp \lp p , x , \beta \rp ,
\lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta удовлетворяет требованиям | x | = 1, | \beta | \leq 1 и | \gamma | \leq 1.

< Лекция 10 || Лекция 11: 123 || Лекция 12 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?