Упражнение 2.1.25 |
Дополнительные свойства автоматных языков
4.2*. Локальные языки
Определение 4.2.1.
Гомоморфизм
называется побуквенным (length-preserving),
если |h(a)| = 1
для каждого
.
Замечание 4.2.2.
Гомоморфизм
является побуквенным
тогда и только тогда, когда |h(w)| = |w|
для каждого слова
.
Определение 4.2.3.
Язык
называется локальным,
если существуют такие языки
,
,
,
что
- языки L1 и L2 содержат только однобуквенные слова;
- язык L3 содержит только двухбуквенные слова;
-
.
Лемма 4.2.4. Каждый локальный язык является автоматным.
Очевидно, что языки L1, L2 и L3 в определении 4.2.3 являются конечными. Остается применить замечание 2.1.19 и теоремы 3.1.1 и 3.2.1 (напомним, что разность языков выражается через пересечение и дополнение).
Теорема 4.2.5. Пусть L - язык над алфавитом и L не содержит пустого слова. Язык L является автоматным
тогда и только тогда, когда
существуют
такие
алфавит
, локальный язык
и побуквенный гомоморфизм
,
что L = h(L0).
Доказательство. Достаточность следует из леммы 4.2.4 и теоремы 4.1.1.
Для доказательства необходимости
рассмотрим конечный автомат
с однобуквенными переходами,
задающий язык L.
В качестве алфавита
возьмем множество
.
Положим



Пример 4.2.6.
Пусть .
Рассмотрим конечный автомат M2
из примера 3.1.3
и обозначим L = L(M2).
Применим конструкцию из доказательства
теоремы 4.2.5
к языку L.
Для удобства заменим
на d,
на e
и
на f.
Получим алфавит
и локальный язык





Упражнение 4.2.7. Пусть .
Существует ли такой побуквенный гомоморфизм
,
что h(abc) = bac
и h(da) = da?}
Упражнение 4.2.8. Является ли локальным язык


Упражнение 4.2.9. Является ли локальным язык


Упражнение 4.2.10. Является ли локальным язык


4.3. Длины слов в автоматных языках
Определение 4.3.1.
Пусть ,
и
.
Множество
называется заключительно периодическим
(ultimately periodic)
с периодом m,
если выполнено условие

Лемма 4.3.2. Пусть . Тогда равносильны следующие утверждения:
-
множество
является заключительно периодическим ;
-
найдутся такие
положительное целое число m и конечные множества
и
, что
-
множество
является объединением конечного семейства арифметических прогрессий.
Теорема 4.3.3. Язык L над однобуквенным алфавитом {a} является автоматным
тогда и только тогда, когда
множество является заключительно периодическим.
Доказательство. Для доказательства необходимости достаточно рассмотреть детерминированный конечный автомат, распознающий язык L.
Теорема 4.3.4. Если язык L является автоматным, то множество является заключительно периодическим.
Доказательство. Рассмотрим конечный автомат, распознающий язык L. Заменим все символы в метках переходов на символ a. Осталось применить теорему 4.3.3 к полученному автоматному языку над однобуквенным алфавитом {a}.
Упражнение 4.3.5.
Существует ли такой автоматный язык L
над алфавитом {a},
что язык
не является автоматным?
Упражнение 4.3.6.
Существует ли такой автоматный язык L
над алфавитом {a},
что язык
не является автоматным?
Упражнение 4.3.7.
Существует ли такой автоматный язык L1
над алфавитом ,
что язык

Упражнение 4.3.8.
Существует ли такой
автоматный язык L
над алфавитом {a,b},
что язык
не является автоматным?
Упражнение 4.3.9.
Существует ли такой
автоматный язык L
над алфавитом {a,b},
что язык
не является автоматным?