НОУ ИНТУИТ | Разработка приложений для мобильных интеллектуальных систем на платформе Intel Atom. Лекция 5: Мультиагентное управление

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Санкт-Петербургский государственный университет

Опубликован: 12.07.2013 | Доступ: свободный | Студентов: 246 / 40 | Длительность: 09:36:00

Темы: Программирование, Мобильные технологии

Специальности: Программист

Теги: android, java, мобильные технологии, разработка приложений, системы программирования

|

Вам нравится? Нравится 12 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Задача консенсуса на графах

Поясним обозначения, использующиеся далее. Верхний индекс переменных будем используется в качестве индекса, а не показателя степени. Для матрицы элемент, находящийся на ее -й строке и в -м столбце называется (i,j) -м элементом и обозначается как $a^{i,j}$ . Для вектора или матрицы определим норму Фробениуса $\lvert M \rvert=[Tr(M^TM]^{1/2}$ . Будем использовать $1_k \in P^k$ , чтобы определить вектор-столбец из единиц. Для вектор-столбцов Z_1,...,Z_l,[Z_1;...;Z_l] определяет вектор-стоблец, полученный вертикальным соединением векторов.

Для описания топологии сети будем использовать понятия теории графов. Ориентированный граф (орграф) G=(N,E) состоит из множества узлов N={1,…,n} и множества ребер . Ребро определяется упорядоченной парой $(i,j) \in N \times N$ , где $i \neq j$ . Направленный путь (из узла i_1 в узел i_l ) состоит из последовательности узлов $i_1,…,i_l, l \geqslant 2$ таких, что $(i_k,i_{k+1}) \in E$ . Орграф называется сильно связным , если из любого узла в любой другой узел существует направленный путь. Направленное дерево – это орграф, в котором каждый узел , кроме корня, имеет ровно одного родителя , такого, что $(j,i) \in E$ . Будем называть $\overline G= (\overline N, \overline E)$ подграфом , если $\overline N \subset N$ и $\overline E \subset E \cap \overline N \times \overline N$ . Будем говорить, что орграф содержит остовное дерево , если существует направленное дерево $G_{tr}=(N,E_{tr})$ как подграф . Матрицей связности графа называется матрица размером $\times \n>$ такая, что $A_G=(a^{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$ , где $a^{i,j}=1$ , если $(i,j) \in E$ и $a^{i,j}=0$ в остальных случаях. Если – неориентированный граф, то каждое ребро определяется как неупорядоченная пара (i,j) , где $i \neq j$ .

Топология динамической сети, показывающая принимаемые сигналы моделируется с помощью последовательности орграфов ${G_t=(N,E_t)}_{t \geqslant0}$ , где , а каждое $E_t \subset E$ и случайно меняется во времени. Матрица связности $A_{G_t}$ – матрица, которая полностью определяет E_t . Если $(j,i) \in E_t$ , то говорим, что узел получает информацию от узла , который называется соседом узла . Обозначим $N^i_t=\lbrace j \lvert (j,i) \in E_t \rbrace$ – множеством соседей узла . Множество соседей подмножества $N_{\overline N}$ определяется следующим образом:

$N_{\overline N}:= \bigcap\limits_{i \in \overline N}N^i_t=\lbrace j \in N: i \in\overline N,(i,j) \in E \rbrace$

( 1)

Пусть $x^i_t \in R$ определяет состояние узла в момент времени $t \in \lbrace 0,1,2,…\rbrace$ . Определим информационный поток в сети как G_x=(G_t,X_t) , где $X_t=[x^1_t,…,x^n_t],t \geqslant 0$ набор значений состояний узлов сети, $X_t \in P^n$ , а G_t – топология . Состояниями узла могут быть, например, физические характеристики (положение, температура, напряжение и др.). В динамической сети с переменной топологией информационный поток G_x – это дискретное состояние системы, меняющееся во времени. Будем говорить, что узлы и согласованы в сети тогда и только тогда, когда x^i_t=x^j_t , и узлы достигли консенсуса тогда и только тогда, когда для любых $i,j \in N, i \neq j$ . Когда все узлы сети согласованы, общее значение узлов называется групповым решением .

Если узлы графа – динамические агенты , описываемые уравнениями:

$\dot{x}^i_t=f^i(x^i_t,u^i_t), i \in N,$

( 2)

то динамический граф(или динамическая сеть) – это динамическая система с состояниями (G_t,X_t) , в которой X_t меняется в соответствии с динамикой сети

$\dot{X}_t=F(X_t,U)=[f^1(x^1_t,u^1_t,...,f^n(x^n_t,u^n_t)]$ , где U=[u^1_t,...,u^n_t]

Будем считать, что в момент времени , если $N^i_t \neq \varnothing$ узел получает, возможно, устаревшую информацию от своих соседей, моделируемую следующим образом:

$y^{ik}_t=x^k_{t-d^{ik}_t}+w^{ik}_t, k \in N^i_t$

( 3)

где $w^{ik}_t$ – помехи, а $d^{ik}_t \geqslant$ – целочисленная случайная задержка. Так как система начинает работу при t=0 , неявным требованием к множеству соседей будет:

$k \in N^i_t \rightarrow t-d^{ik}_t \geqslant 0$

( 4)

Каждый узел использует информацию о своем собственном состоянии (может быть и зашумленную), а также свои зашумленные измерения для u^i_t . Будем называть обратную связь по наблюдениям состояний

$U_t=k_t(X_t),u^i_t=k^i_t(y^{j_1}_t,...,y^{j_{m_i}}_t})$

( 5)

протоколом с топологией $G_t, \lbrace j_1,…,j_{m_i} \rbrace \in \overline N^{i,t} \subseteq \lbrace i \rbrace \cup N^i_t$ , для любого из узлов $j_1,…,j_{m_i} \in N$ удовлетворяет свойству: $\overline N^i \subseteq \lbrace i \rbrace \cup N^i_t$ . Если $\lvert \overline N_i \rvert$ < для любого $i \in N$ , то (5) называется распределенным протоколом .

Пусть $\chi : P^n \rightarrow P$ – некоторая функция переменных. Задача $\chi$ -консенсуса в динамическом графе заключается в распределенном вычислении $\chi (X_0)$ , применяя входы u^i_t .

Определение 1: Протокол (5) асимптотически решает задачу $\chi$ -консенсуса тогда и только тогда, когда существует асимптотически устойчивое равновесие X^* для $\dot {X}_t=F(X_t,k_t(X_t))$ , удовлетворяющее $x^{*,i}=\chi (X_0)$ для любого $i \in N$ .

Отметим особые случаи, когда $\chi (X)=Ave(X)=1/n(\sum \limits^n_{i=1} x^i)$ , $\chi (X)=max_i x^i$ и $\chi (X)=min_i \lvert x^i \rvert$ , называемые консенсус усреднения , -консенсус и -конснсус соответственно 6. Эти случаи широко применяются в распределенных системах принятия решений для мультиагентных систем.

Решение задачи консенсуса усреднения является примером распределенного вычисления линейной функции $\chi (X)=Ave(X)$ , используя сеть динамических систем (или интеграторов).

Пусть $(\Omega,F,P)$ – основное вероятностное пространство и будем считать, что часть или все определенные выше переменные, вектора и матрицы – случайные величины.

Обозначим максимальное множество каналов связи $E_{max}=\lbrace (k,i) \lvert sup_{t \geqslant 0} ((k,i) \in E_t) > 0 \rbrace$ .

Для удобства статистического моделирования предположим следующее: $w^{ik}_t$ и $d^{ik}_t$ определены для всех $(k,i) \in E_{max}$ . Если (k,i) не появляется в E_t , тогда (3) физически не работает и $w^{ik}_t$ и $d^{ik}_t$ можно считать нулями. Если $(k,i) \notin E_t$ , положим $d^{ik}_t=0$ . Пусть $w^{ik}_t \lvert (k,i) \in E_{max}$ перечислены в определенном порядке (k,i) , тогда получаем вектор помех W_t размерности n_1 .

Определение 2: узлов достигают среднеквадратичного консенсуса , если $E \lvert x^i_t \rvert ^2 < \propto , t \geqslant 0, 1 \leqslant i \leqslant n$ и существует случайная переменная x^* такая что $lim_{t \rightarrow \propto} E \lvert x^i_t – x^* \rvert ^2=0$ для $1 \leqslant i \leqslant n$ .

Далее будет рассмотрен пример мультиагентной системы с описанными выше параметрами.

Дальше >>

Авторизоваться

Разработка приложений для мобильных интеллектуальных систем на платформе Intel Atom

Мультиагентное управление

Задача консенсуса на графах

Вопросы и ответы