Соотношение между классическим и квантовым вычислением

Лемма 6.2. (очистка мусора). В условиях леммы можно произвести вычисление функции обратимой схемой размера (с использованием дополнительных битов).

Доказательство. Для очистки мусора будет использована обратимость. Изобразим процесс вычисления схемой, аналогичной той, что приведена в доказательстве леммы 6.1.

Замечание 6.4. Обратимыми вычислениями заинтересовались при попытке ответить на вопрос, какая энергия необходима для вычислений (классических). Анализ показал, что потери энергии можно устремить к нулю для всех вычислительных операций, кроме необратимых. Когда производится необратимая операция (например, стирание бита), два различных логических значения ( и ) становятся одинаковыми ( ). Однако физические законы на микроуровне являются обратимыми, поэтому отличие между старыми состояниями ( и ) должно сохраниться в каких-то неконтролируемых физических степенях свободы. Это можно интерпретировать как возрастание беспорядка (энтропии), которое в конечном счете проявится в окружающей среде в виде тепла. Величина энергии, требуемой для стирания одного бита, очень мала ( ), но конечна. Потеря энергии из-за необратимого стирания информации при форматировании жесткого диска емкостью 1 Гб равна Дж, что примерно соответствует затратам энергии на сдвиг головки диска на половину диаметра атома водорода. Это на много порядков меньше реального перемещения головки при форматировании.

С другой стороны, если емкость дисков будет расти столь же быстро, как в настоящее время, то к концу XXIII века для форматирования жесткого диска потребуется энергия, соответствующая годовому излучению Солнца.

Лемма об очистке мусора показывает, что можно избежать таких потерь энергии, связанных с необратимостью вычислений.

Можно также показать, что любое вычисление, требующее памяти , можно реализовать обратимым образом с использованием памяти, не превышающей . Приведем набросок доказательства.

Поскольку задача TQBF PSPACE-полна, то достаточно вычислять на небольшой памяти значение формулы

( 6.1)

Чтобы вычислить , вычислим , занесем результат в одну дополнительную ячейку, затем вычислим и занесем результат в другую ячейку. После вычислим и результат занесем в третью ячейку. Чтобы убрать мусор, прокрутим все вычисления, кроме последнего шага, в обратном направлении.

Разобравшись аналогичным образом с формулой , приходим к такому выводу: добавление квантора по булевой переменной увеличивает требуемую память не более чем на константу битов.

В заключение сформулируем теорему о вычислении обратимых функций, которая является прямым обобщением леммы 6.2.

Теорема 6.1. Пусть и вычислимы булевыми схемами размеров . Тогда реализуется обратимой схемой размера .

Доказательство. Дается следующей схемой вычислений (для простоты не указаны биты, которые "берутся напрокат" при вычислении из леммы 6.2.