Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 611 / 26 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Лекция 5:

Квантовые вычисления

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >

Определения и обозначения

Пространство состояний системы из n q-битов \CC^{2^n} можно записать в виде тензорного произведения \CC^2\otimes\ldots\otimes\CC^2=\left(\CC^2\right)^{\otimes n}. Сомножители соответствуют пространству состояний одного q-бита.

Тензорное произведение двух пространств L и M, в которых фиксированы базисы \{e_1,\dots,e_l\} и \{f_1,\dots, f_m\}, можно определить как пространство с базисом из элементов e_j\otimes f_k. (В данном случае e_j\otimes f_k — это то же самое, что (e_j,f_k), т.е. просто пара векторов.) Размерность тензорного произведения равна lm (произведению размерностей сомножителей).

Такое определение неинвариантно, т.е. зависит от выбора базисов в перемножаемых пространствах. Можно дать инвариантное определение. Для этого рассмотрим вначале пространство (бесконечномерное) с базисом e\otimes f, где e\in L, f\in M — произвольные векторы из перемножаемых пространств. Тензорное произведение будет факторпространством этого пространства по подпространству, порожденному векторами вида

\begin{align*}
				&(e_1+e_2)\otimes f - e_1\otimes f - e_2\otimes f,\\
				&e\otimes(f_1+f_2) - e\otimes f_1 - e\otimes f_2,\\
				&(\lambda e)\otimes f - e\otimes(\lambda f),\\
				&\lambda(e\otimes f)-(\lambda e)\otimes f.
				\end{align*}
Другими словами, указанные векторы считаются равными 0.

Можно доказать, что данные определения эквивалентны.

В нашем случае имеется естественный выделенный базис (соответствующий выделенным состояниям): для \CC^2\{\ket0,\ket1\}, а для \left(\CC^2\right)^{\otimes n}\{\ket{x_1,\dots,x_n}\}, \ x_j\in\cb. Пространство \CC^2 с выделенным базисом обозначается через \BB. Выделенный базис считается ортонормированным, это задает скалярное произведение на пространстве состояний. Коэффициенты c_{x_1,\dots,x_n} разложения вектора \ket{\psi} по этому базису называются амплитудами. Их физический смысл состоит в том, что квадрат модуля амплитуды |c_{x_1,\dots,x_n}|^2 интерпретируется как вероятность обнаружить систему в данном базисном состоянии. Как и должно быть, суммарная вероятность всех состояний равна 1, поскольку длина вектора предполагается единичной. (Вероятности будут подробно обсуждаться позже; до некоторых пор мы будем заниматься линейной алгеброй — изучать унитарные операторы на пространстве \BB^{\otimes n} ).

Мы будем использовать (и уже использовали) принятые в физике обозначения, относящиеся к векторам и скалярному произведению в гильбертовом пространстве (их ввел Дирак). Векторы обозначаются \ket{\xi}, скалярное произведение\langle\xi|\eta\rangle. Если \ket{\xi}=\sum_x a_x\ket{x} и \ket{\eta}\double=\sum_x b_x\ket{x}, то \langle\xi|\eta\rangle=\sum_x a^*_xb^{\phantom{*}}_x. (Здесь и далее a^* обозначает комплексное сопряжение.) В записи векторов скобки нужны лишь "для красоты" — они указывают на тип объекта и придают симметрию обозначениям (см. ниже). Вместо \ket{\xi} можно было бы написать просто \xi, хотя это и не принято. Поэтому \ket{\xi_1+\xi_2}=\ket{\xi_1}+\ket{\xi_2} — и то, и другое обозначает вектор \xi_1+\xi_2.

Скалярное произведение антилинейно по первому аргументу3Обратите внимание, что математики обычно считают, что скалярное произведение в унитарном пространстве антилинейно по второму аргументу. и линейно по второму, т.е.

\begin{align*}
				&\langle \xi_1+\xi_2|\eta\rangle=
				\langle \xi_1|\eta\rangle+\langle \xi_2|\eta\rangle,
				&&\langle \xi|\eta_1+\eta_2\rangle=
				\langle \xi|\eta_1\rangle+\langle \xi|\eta_2\rangle,\\
				&\langle c\xi|\eta\rangle=c^*\langle \xi|\eta\rangle,
				&&\langle \xi|c\eta\rangle=c\langle \xi|\eta\rangle.
				\end{align*}

Если в обозначении скалярного произведения взять левую половину, то получим бра-вектор \bra{\xi}, т.е. линейный функционал на кет-векторах (векторах нашего пространства). Бра- и кет-векторы находятся во взаимно однозначном соответствии. (Тем не менее, нужно их как-то различать — именно для этого и были введены угловые скобки.) Из-за антилинейности скалярного произведения по первому аргументу имеем равенство \bra{c\xi}\double=c^*\bra\xi. Бра-вектор можно записать в виде строки, а кет-вектор — в виде столбца (чтобы его можно было умножить слева на матрицу):

\bra{\xi}=c_0^*\bra{0}+c_1^*\bra{1}=(c_0^*,c_1^*), \qquad
				\ket{\xi}=c_0\ket{0}+c_1\ket{1}=
				\leftp \begin{array}{c} c_0\\ c_1 \end{array} \rightp\, .

Запись \langle \xi|A|\eta\rangle ( A — линейный оператор) можно толковать двояко: либо как скалярное произведение вектора \bra\xi на вектор A\ket\eta, либо как — \bra\xi A на \ket\eta. Так появляется сопряженный оператор A^\dagger: по определению, \bra{A^\dagger\xi} (бра-вектор, соответствующий A^\dagger\ket{\xi} ) равен линейному функционалу \bra\xi A. Из определения сразу следует, что

\langle A^\dagger\xi |\eta\rangle = \langle\xi |A|\eta\rangle.

Унитарный оператор — это линейный оператор, сохраняющий скалярное произведение. Условие

\langle \eta|\xi\rangle =\langle U\eta|U|\xi\rangle = \langle \eta|U^\dagger U|\xi\rangle
эквивалентно тому, что U^\dagger U=I (где I — тождественный оператор).

Наше определение скалярного произведения в \BB^{\otimes n} согласовано с тензорным произведением:

\Bigl(\bra{\xi_1}\otimes\bra{\xi_2}\Bigr) \Bigl(\ket{\eta_1}\otimes\ket{\eta_2}\Bigr)= \langle\xi_1|\eta_1\rangle\,\langle\xi_2|\eta_2\rangle\,.
В дальнейшем будет использоваться тензорное произведение операторов. Оно действует в тензорном произведении пространств, на которых действуют сомножители, по правилу
(A\otimes B)\ket\xi\otimes\ket\eta=A\ket\xi\otimes B\ket\eta.
Если операторы заданы в матричном виде в некотором базисе, т.е.
A\double=\sum_{j,k}^{} a_{jk}\ket{j}\bra{k},\quad B=\sum_{j,k}^{}b_{jk}\ket{j}\bra{k}
(легко понять, что \ket{j}\bra{k} — линейный оператор: \ket{j}\bra{k}\;\ket\xi=\langle k|\xi\rangle\ket{j} ), то матричные элементы оператора C=A\otimes B имеют вид c_{(jk)(lm)}=a_{jl}b_{km}.

Вычисление состоит из преобразований, считаемых элементарными (выполняемых за единицу времени).

Элементарное преобразование в классическом случае: такая функция из \cb^n в \cb^n, которая зависит от небольшого (не зависящего от n ) числа битов и изменяет также небольшое число битов. Элементарное преобразование в квантовом случае: тензорное произведение произвольного унитарного оператора, действующего на части сомножителей \BB^{\otimes r}, где r мало ( r=O(1) ), и тождественного оператора, действующего на остальных сомножителях.

Тензорное произведение некоторого оператора U, действующего на множестве q-битов A, и тождественного оператора, действующего на остальных q-битах, будем обозначать U[A]. (В частности, U[1,\dots,r]\double=U\otimes I обозначает действие на первых r q-битах.)

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >