Сделки без побочных платежей

Пример 3.1. Рассмотрим биматричную игру с матрицами из табл. 3.1. Допустимое множество S для этого примера построено на рис. 3.3 как многоугольник. Вершины этого многоугольника принадлежат множеству (14.1), соответствующему матрицам из табл. 3.1. Точки, соответствующие вершинам многоугольника S, отмечены на рисунке темными кружками.

Согласно (14.7), (14.8) и (14.10), (14.11) рассматриваемый пример характеризуется значениями^{3Заметим, что матрица A содержит седловое значение, а в матрице второй столбец доминирует первый и, следовательно, получение оценок для второго игрока сводится к анализу матрицы.}

и рулетками При этом ( , а точка из (14.14), соответствующая рулетке из (14.13), принадлежит границе допустимого множества.

Первое предположение Нэша состоит в том, что стороны P₁ и P₂ будут согласовывать лишь сделки , удовлетворяющие неравенствам

Это естественное допущение, которое мы будем записывать также в векторной форме получило название аксиомы индивидуальной рациональности. При этом принимается и другое естественное условие, что стороны согласуют лишь допустимые сделки ( аксиома допустимости ), т.е. Как мы уже установили, сделки, отвечающие условиям (14.15), (14.16), заведомо существуют.

Следующее условие ( аксиома неулучшаемости или оптимальности по Парето), введенное Нэшем, отражает то обстоятельство, что обе стороны проявят готовность рассматривать варианты, повышающие выигрыш каждой из них. Поэтому сделка, принимаемая окончательно, должна быть уже неулучшаема (см. определение в "Устойчивость и эффективность поведения сторон: совместимость свойств устойчивости и эффективности" ). Мы будем записывать это условие в следующей форме

которая аналогична записи (3.4).

Формулировки двух следующих условий Нэша предполагают, что сделка , согласуемая сторонами, может быть определена как некоторая функция

Т.е. выдвигаемые принципы поведения сторон при согласовании сделки могут быть отражены в операторе , аргументами которого являются допустимое множество S и выигрыши u^*,v^*, гарантируемые односторонними действиями соответственно P₁ и P₂. Предположение (14.18) фактически означает, что оператор (ниже мы установим его существование) является моделью формирования сделки. Заметим также, что излагаемая ниже теория справедлива для любого выпуклого, ограниченного и замкнутого множества S и пары уровней u^*,v^* доминируемых какой-либо точкой из S. Т.е. величины S и u^*, v^*, соответственно, из (14.6), (14.7) и (14.12), связанные с некоторой биматричной игрой, можно интерпретировать как (основной в нашем рассмотрении) частный случай.

Теперь введем четвертое условие Нэша, утверждающее, что согласованная сторонами сделка сохраняется при усечении исходного множества S до некоторого подмножества , включающего эту сделку. Эту аксиому независимости от посторонних альтернатив можно записать в следующем виде:

Сформулируем пятое условие, называемое аксиомой независимости от линейного преобразования. Введем линейное преобразование шкал полезностей сторон вида:

переводящее множество S в некоторое множество T. Пятая аксиома утверждает справедливость следующего следствия: Т.е. при линейном изменении шкал полезностей согласованная сделка просто пересчитывается в соответствии с новой шкалой, сохраняя свою приемлемость для обеих сторон. Следует, однако, заметить, что при значительных изменениях масштабов выигрышей могут меняться сами принципы поведения людей (и в том числе их отношение к нравственным и другим запретам). Поэтому аксиома (14.21) может оказаться реалистичной лишь при не очень больших изменениях масштабов.

Последнее условие ( аксиома симметрии ) имеет вид следствия:

Т.е. аксиома относится к случаю, когда допустимое множество S симметрично относительно биссектрисы первого координатного угла на плоскости (v,u), а выигрыши u^*,v^*, гарантируемые односторонними действиями игроков P₁ и P₂, совпадают по величине. Пример такого случая представлен нарис. 3.2. Предполагается, что в подобной задаче полезности, достигаемые сторонами в согласованной сделке , должны совпадать. Можно интерпретировать это предположение как признание невозможности увеличения своего выигрыша по сравнению с выигрышем партнера, если ресурсы сторон, отражаемые симметричным множеством S и совпадающими гарантированными уровнями u^*,v^*, являются в некотором роде одинаковыми. Разумеется, эти три аргумента оператора из (14.18) не описывают всех (могущих встретиться в практике переговоров) аспектов взаимоотношений сторон при согласовании сделки. Поэтому условие (14.22) можно интерпретировать и как некоторое нормативное определение справедливости.

Замечание 3.2 (о дележах ). Любая допустимая, индивидуально рациональная сделка, удовлетворяющая условию (14.17), может рассматриваться как некоторое (не улучшаемое одновременно для обеих сторон) распределение полезности в исходе операции. Поэтому сделки, удовлетворяющие условиям (14.15)-(14.17), называют дележами.