Высказывания и предикаты

Материал этого и некоторых из следующих параграфов в значительной мере основан на подходе к программированию, применяемом в книге [4], знакомство с которой весьма полезно. Что же касается собственно математической теории предикатов, то нам необходимы только ее основы, и поэтому обращение к какой-либо специальной дополнительной литературе по этой тематике не требуется.

Зачем программисту предикаты

Все знают, что в программах бывают ошибки (bugs). Существуют специальные теории, посвященные тому, как лучше их находить и исправлять ( debugging дословно означает "выведение клопов"). Зачастую нахождение ошибки — очень нетривиальная задача, так как ее последствия могут сказываться совершенно в другом месте программы и быть весьма неожиданными.

При этом часто забывается тот очевидный факт, что ошибку гораздо легче предотвратить при написании программы, нежели найти и исправить потом. Существуют методы проектирования программ (по крайней мере, небольших), позволяющие не только написать правильную программу, но и получить одновременно с этим совершенно строгое доказательство ее правильности. Изучению таких методов и будет посвящена в основном вторая глава данной книги.

Однако для того, чтобы изучить какую-либо теорию, необходимо выучить язык, на котором теория может быть изложена. Язык предикатов — это именно тот язык, на котором можно строго сформулировать постановку задачи и доказать правильность конкретной программы. Попробуйте решить следующую задачу.

Задача 3.1. Задача о банке с кофейными зернами. В банке имеется несколько черных и белых кофейных зерен. Следующий процесс надо повторять, пока это возможно:

• случайно выберите из банки два зерна и
• если они одного цвета, отбросьте их, но положите в банку другое черное зерно (имеется достаточный запас черных зерен, чтобы делать это);
• если они разного цвета, поместите белое зерно обратно в банку и отбросьте черное зерно.

Выполнение этого процесса уменьшает количество зерен в банке на единицу. Повторение процесса должно прекратиться, когда в банке останется всего одно зерно, так как тогда нельзя уже выбрать два зерна. Можно ли что-то сказать о цвете оставшегося зерна, если известно, сколько вначале в банке было черных и белых зерен?

Попытка решать эту задачу, используя тестовые примеры с небольшим начальным количеством зерен в банке, не приводит ни к какому результату в течение значительного промежутка времени. Этот подход к решению является в каком-то смысле аналогом тестирования программы с целью выявления ошибок в ней.

Знание теории позволяет получить ответ на вопрос задачи почти мгновенно, однако объяснить это решение практически невозможно без привлечения такого понятия, как инвариант цикла, речь о котором пойдет в нашем курсе значительно позже. Инвариант цикла — это предикат, обладающий некоторыми специальными свойствами. Интересно, что при этом даже пятиклассник может справиться с рассматриваемой задачей, решив ее как-то. Под этим понимается по существу правильное решение, правильность которого доказать абсолютно невозможно.

Теперь рассмотрим вопрос о том, насколько сложно протестировать уже написанную программу. При этом мы будем предполагать для простоты, что для линейной программы (без ветвлений) достаточно всего одного теста, для программы с одним оператором if — двух (чтобы протестировать правильность каждой из его ветвей) и так далее.

Реальные большие программы, конечно, не сводятся к совокупности вложенных друг в друга условных операторов. Однако они не проще, а сложнее — ведь в них есть и циклы и вызовы функций, подпрограмм или методов, обработка исключительных ситуаций и многое другое.

Вернемся к нашей модели. Если в программе 10 операторов if, то нужно выполнить теста, а если их 20, то уже ! Можно ли надеяться на то, что в процессе тестирования реальной большой программы удастся проверить все возможные варианты ее работы? Нет, конечно. Именно поэтому так важно не делать ошибок, так как потом их скорее всего просто не обнаружить.

В заключение поговорим о правильности большой программы, состоящей из многих небольших частей. Предположим, что для каждой из этих частей мы можем гарантировать правильность ее работы с вероятностью 99%. Это значит, что в среднем только в одном случае из ста что-то может быть не так, а в 99 случаях каждая часть будет работать абсолютно правильно. Пусть всего таких частей . Какова вероятность правильной работы программы в целом?

Это — простейшая задача по курсу теории вероятностей и ответ у нее такой: . Здесь — вероятность правильной работы каждой из частей, а — вероятность правильной работы программы в целом. При получаем результаты, приведенные в таблице 3.1.

При программа будет работать правильно чуть более, чем в одной трети всех ситуаций, а при увидеть ее работающей вообще вряд ли удастся. Этот пример показывает, что нужно всеми силами стараться избегать написания почти правильных программ!