Эквивалентность и порядок. Изоморфизмы

82. Объясните, почему не стоит читать как " не больше ".

В некоторых книжках отношение частичного порядка определяется как отношение , удовлетворяющее двум указанным свойствам. В этом случае отношение является отношением частичного порядка в смысле нашего определения.

83.Проверьте это.

Во избежание путаницы отношение иногда называют отношением строгого порядка, а отношение - отношением нестрогого порядка. Одно и то же частично упорядоченное множество можно задавать по - разному: можно сначала определить отношение нестрогого порядка (рефлексивное, антисимметричное и транзитивное) и затем из него получить отношение строгого порядка , а можно действовать и наоборот.

84. Опуская требование антисимметричности в определении частичного порядка, получаем определение предпорядка. Докажите, что любой предпорядок устроен так: множество делится на непересекающиеся классы, при этом для любых двух элементов , из одного класса, а на фактор - множестве задан частичный порядок, который и определяет результат сравнения двух элементов из разных классов.

Вот несколько конструкций, позволяющих строить одни упорядоченные множества из других.

• Пусть - подмножество частично упорядоченного множества . Тогда на множестве возникает естественный частичный порядок, индуцированный из . Формально говоря,
  
  Если порядок на был линейным, то и индуцированный порядок на , очевидно, будет линейным.
• Пусть и - два непересекающихся частично упорядоченных множества. Тогда на их объединении можно определить частичный порядок так: внутри каждого множества элементы сравниваются как раньше, а любой элемент множества по определению меньше любого элемента . Это множество естественно обозначить . (Порядок будет линейным, если он был таковым на каждом из множеств.)

  Это же обозначение применяют и для пересекающихся (и даже совпадающих множеств). Например, говоря об упорядоченном множестве , мы берем две непересекающиеся копии натурального ряда и и рассматриваем множество , причем при всех и , а внутри каждой копии порядок обычный.
• Пусть и - два упорядоченных множества. Можно определить порядок на произведении несколькими способами. Можно считать, что , если и (покоординатное сравнение). Этот порядок, однако, не будет линейным, даже если исходные порядки и были линейными: если первая координата больше у одной пары, а вторая у другой, как их сравнить? Чтобы получить линейный порядок, договоримся, какая координата будет " главной" и будем сначала сравнивать по ней, а потом (в случае равенства) - по другой. Если главной считать - координату, то , если или если , а . Однако по техническим причинам удобно считать главной вторую координату. Говоря о произведении двух линейно упорядоченных множеств как о линейно упорядоченном множестве, мы в дальнейшем подразумеваем именно такой порядок (сначала сравниваем по второй координате).

85. Докажите, что в частично упорядоченном множестве (порядок покоординатный) нет бесконечного подмножества, любые два элемента которого были бы несравнимы. Верно ли аналогичное утверждение для ?

86. Докажите аналогичное утверждение для (порядок покоординатный).

87. Пусть - конечное множество из элементов. Рассмотрим множество всех подмножеств множества , упорядоченное по включению. Какова максимально возможная мощность множества , если индуцированный на порядок линеен? если никакие два элемента не сравнимы? (Указание: см. задачу 14.)

88. Сколько существует различных линейных порядков на множестве из элементов?

89. Докажите, что всякий частичный порядок на конечном множестве можно продолжить до линейного (" продолжить" означает, что если в исходном порядке, то и в новом это останется так).

90. Дано бесконечное частично упорядоченное множество . Докажите, что в нем всегда найдется либо бесконечное подмножество попарно несравнимых элементов, либо бесконечное подмножество, на котором индуцированный порядок линеен.

91. (Конечный вариант предыдущей задачи.) Даны целые положительные числа и . Докажите, что во всяком частично упорядоченном множестве мощности можно указать либо попарно несравнимых элементов, либо попарно сравнимых.

92. В строчку написаны различных чисел. Докажите, что можно часть из них вычеркнуть так, чтобы осталась либо возрастающая последовательность длины , либо убывающая последовательность длины . (Указание: можно воспользоваться предыдущей задачей.)

93. Рассмотрим семейство всех подмножеств натурального ряда, упорядоченное по включению. Существует ли у него линейно упорядоченное (в индуцированном порядке) подсемейство мощности континуум? Существует ли у него подсемейство мощности континуум, любые два элемента которого несравнимы?

Элемент частично упорядоченного множества называют наибольшим, если он больше любого другого элемента, и максимальным, если не существует большего элемента. Если множество не является линейно упорядоченным, то это не одно и то же: наибольший элемент автоматически является максимальным, но не наоборот. (Одно дело коробка, в которую помещается любая другая, другое - коробка, которая никуда больше не помещается.)

Аналогичным образом определяются наименьшие и минимальные элементы.

Легко понять, что наибольший элемент в данном частично упорядоченном множестве может быть только один, в то время как максимальных элементов может быть много.

94. Докажите, что любые два максимальных элемента не сравнимы. Докажите, что в конечном частично упорядоченном множестве для любого элемента найдется максимальный элемент , больший или равный .