Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1626 / 46 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Специальности: Программист, Математик
Лекция 11:

Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема

Предположим, что существует элементарная функция g(x), такая, что g'(x)=f(x). По теореме Лиувилля функция g(x) имеет вид v_0(\theta )+\sum c_i \log v_i(\theta ), где v_0 -рациональная функция от \theta, коэффициенты которой принадлежат полю \mathbb Q (x), v_i -полиномы от \theta, которые можно считать неприводимыми, коэффициенты которых являются рациональными функциями от x с алгебраическими (комплексными) коэффициентами. Пользуясь свойствами логарифмов, мы можем разбить сумму логарифмов на две части:

\sum c_i \log v_i(\theta )=\sideset{}{'}\sum c_i\log
v_i+\sideset{}{''}\sum c_i\log v_i
так, что в \sum' полиномы v_i(\theta ) являются неприводимыми полиномами от \theta со старшим коэффициентом 1, а в \sum'' полиномы v_i не зависят от \theta.

Пусть v_0(\theta)=p_0(\theta)+q_0(\theta), где p_0 -полином от \theta, а q_0(\theta) - правильная рациональная функция от \theta. При дифференцировании по x функции p_0(\theta)+q_0(\theta)+\sum'   c_i\log
v_i(\theta ) +\sum'' c_i\log v_i первое слагаемое дает регулярную часть (полином), второе и третье -правильные дроби от \theta, а производная четвертого слагаемого не зависит от \theta (является рациональной функцией от x ). Поскольку в правой части равенства g'(x)=\theta стоит полином от \theta, этот полином (с точностью до свободного члена) должен сокращаться с (p_0(\theta ))'_x.

Пусть p_0(\theta )=\sum\limits _{i=0}^k  A_i\theta  ^i, где A_i - функции, зависящие от x. Дифференцируя по x, получаем

\begin{multiline}
   \begin{aligned}
  (p_0(\theta ))'_x = \sum _{i=0}^k A'_i\theta ^i+\sum _{i=0}^k
iA_i\theta'\theta ^{i-1}
  = \sum _{i=0}^k A'_i\theta ^i+\sum _{i=0}^k A_ii(-2x)\theta ^i\\   = \sum _{i=0}^k (A'_i-2ix\cdot A_i)\theta ^i 
   \end{aligned}  
\end{multiline} ( 23.3)

Для i>1 должны выполняться равенства A'_i-2ix\cdot 
 A_i=0, откуда A_i=\alpha _ie^{-ix^2  }. Мы предполагали, что A_i\in 
\mathbb C(x), а это возможно только при \alpha  _i=0, поскольку функция e^{-ix^2   } трансцендентна над \mathbb C(x).

Для i=1 получаем уравнение

\begin{equation}
  A'_1-2xA_1=1,
\end{equation} ( 23.4)
у которого нам нужно найти рациональное решение A(x)\in \mathbb C(x). Предположим, что A(x)=a(x)+b(x), где a(x) - полином, а b(x) - правильная рациональная дробь.

Подставляя в (23.4), получаем для полиномиальной части уравнение a'(x)-2x\cdot
a(x)=1, которое не имеет решений в кольце полиномов \mathbb C[x], поскольку при a(x)\neq 0 степень полинома в левой части равна 1+\deg a(x)
> 0=\deg 1.

Таким образом, уравнение (23.3) не имеет рациональных решений, а уравнение (23.2) -элементарных, т. е. функция вероятности ошибки \Err(x)=\int_0^x 
e^{-t^2
}dt не является элементарной.

23.16. ПРИМЕР. g'(x)=\frac 1{\log x} = f(x).

Введем обозначение \theta =\log x. Тогда \theta '=\frac
1x. Легко видеть, что элемент \theta трансцендентен над \mathbb C[x].

Предположим, что g(x) -элементарная функция. По теореме Лиувилля она имеет вид \frac{p(\theta )}{q(\theta )}+\sum c_i  \log  v_i(\theta 
). Без ограничения общности можно считать, что v_i(\theta )\in \mathbb C(x)[\theta
] - неприводимые полиномы от \theta со старшим коэффициентом 1 или (для одного значения i ) рациональная функция от x, не зависящая от \theta. При дифференцировании по x слагаемые вида \log  v_i(\theta  ) дают либо правильную дробь \left(\frac {\partial v_i}{\partial x}+\frac {\partial v_i}{\partial 
\theta
}\cdot \frac 1x\right)/v_i(\theta ) от \theta со знаменателем v_i(\theta
), либо рациональную функцию от x, если v_i не зависит от \theta.

Пусть q_1(\theta ) -неприводимый делитель полинома q(\theta  ). После дифференцирования выражения \frac {p(\theta )}{q(\theta  )} в знаменателе появится полином q_1^{k+1}(\theta  ), если q(\theta 
) делится на q_1^k(\theta ), а числитель останется взаимно простым с q_1(\theta  ). Поскольку знаменатель правой части свободен от квадратов, отсюда вытекает, что q(\theta )=1.

Из того, что разложение правой части исходного уравнения в сумму простейших дробей содержит единственное слагаемое 1/\theta, и предположения, что различные полиномы v_i(\theta ) взаимно просты, следует, что от \theta зависит единственное слагаемое v_1(\theta  )=\theta, т. е. g(x)=c_1\log
\theta +c_2\log v_2(x)+p_1(\theta), где p_1(\theta) - полином. Следовательно,

g'(x)=\frac {c_1\cdot  (\frac  1x)}\theta
+c_2\cdot \tilde v_2(x)+p'_1(\theta) = \frac 1\theta

Поскольку элемент \theta трансцендентен над \mathbb C(x), должно выполняться равенство 1={c_1}/x, где c_1 - константа, что невозможно. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в элементарных функциях.

Алгоритм интегрирования трансцендентных функций известен как алгоритм Риша. В его основе лежит метод неопределенных коэффициентов. Искомая функция g(x) выражается в виде функции от \theta_n с коэффициентами из поля \EuScript F _{n-1}, и после дифференцирования g(x) приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства (22.1). Найденное таким образом решение будет решением исходного уравнения и в том случае, если функции \theta_i не являются трансцендентными, но отсутствие решения означает неинтегрируемость только при трансцендентных функциях \theta_i. Проверка трансцендентности элементов \theta_i осуществляется на основе структурной теоремы.

Марина Подлевских
Марина Подлевских

Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование?