Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1626 / 46 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Специальности: Программист, Математик
Лекция 4:

Базисы Гребнера

Как сказано выше, множество многочленов G=\{g_1,\dots,g_k\} и алгоритм нормальной формы позволяют сформировать множества \EuScript B_i, каждое из которых получается путем умножения многочлена g_i на некоторое множество мономов. S -полиномы соответствуют многочленам g_i и мономам m_i, таким, что m_i является минимальным (относительно деления мономов) мономом, для которого m_i\cdot g_i\notin \EuScript B_i. В действительности, проверять редуцируемость к нулю нужно только для таких многочленов (заметим, что при этом рассматриваются не все S -полиномы, автоматически используется "правило треугольника"). Естественно потребовать, чтобы множество G было авторедуцированным.

Алгоритм пополнения основан на описанном выше методе S -полиномов и отличается от приведенного выше алгоритма тем, что в случае нередуцируемости S -полинома его нормальная форма добавляется к множеству G. При этом, как правило, меняется алгоритм нормальной формы, т.е. множества \EuScript B_i, описанные выше.

Как правило, для повышения эффективности алгоритмов построения базисов Гребнера совершенствуются методы перебора S -полиномов, но мало внимания уделяется рассмотрению возможных алгоритмов нормальной формы.

До настоящего момента мы никак не ограничивали выбор алгоритма нормальной формы, т.е. формирование множеств \EuScript B_i для заданной системы многочленов G=\{g_i\}. Теперь предположим, что на множестве мономов задано некоторое отношение "делимости" |_L, удовлетворяющее следующим аксиомам (аксиомы глобального инволютивного деления, см., например, [ 22 ] :

  1. u|_L v\implies u|v (в смысле обычного деления);
  2. 1|_L u ;
  3. u|_L w\wedge v|_L w\implies u|_L v\vee v|_L u ;
  4. u|_L uvw\iff u|_L uv\wedge u|_L uw ;
  5. u|_L v\wedge v|_L w\implies u|_L w (транзитивность).

В случае, если имеет место отношение u\bigr|_Lv, мы будем говорить, что u инволютивно делит v.

Аксиомы 3 и 4 для случая двух переменных можно наглядно представить следующим образом.

Изобразим мономы вида x^iy^j на плоскости точками с координатами (i,j). Тогда

  • множества инволютивных кратных для любых двух мономов либо не пересекаются, либо одно из них содержится в другом;
  • множество кратных монома x^iy^j представляется либо одной точкой (i,j), либо вертикальным или горизонтальным лучом, выходящим из этой точки, либо углом между вертикальным и горизонтальным лучами, выходящими из этой точки.

Обобщение на случай нескольких переменных очевидно.

10.2. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что глобальное инволютивное деление определяет для каждого монома u множество M(u) его мультипликативных переменных как множество таких переменных, что u инволютивно делит любое произведение u на моном, включающий только мультипликативные переменные. Остальные переменные назовем немультипликативными для монома u (обозначение NM(u) ).

Примеры глобальных инволютивных делений:

  1. M(x_1^{i_1}\dots
x_k^{i_k})=\{x_k,\dots,x_n\} - правое деление Поммаре.
  2. M(x_k^{i_k}\dots x_n^{i_n})=\{x_1,\dots,x_k\} - левое деление Поммаре.
  3. M(x_1^{i_1}\dots x_n^{i_n})=\{x_k\ :\ i_k=\max_{m=1}^n
i_m\}.

Для двух переменных правое и левое деление Поммаре можно проиллюстрировать следующим образом:

\begin{picture}(120,120)
\multiput(0,0)(20,0){7}%
{\multiput(0,0)(0,20){7}{\put(0,0){\circle*{2}}}}
\multiput(0,0)(20,0){6}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}}
\multiput(0,0)(20,0){7}%
{\multiput(0,0)(0,20){6}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}}}
\end{picture}
\begin{picture}(120,120)
\multiput(0,0)(20,0){7}%
{\multiput(0,0)(0,20){7}{\put(0,0){\circle*{2}}}}
\multiput(0,0)(0,20){6}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}}
\multiput(0,0)(0,20){7}%
{\multiput(0,0)(20,0){6}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}}}
\end{picture}

Для третьего примера геометрическая интерпретация выглядит следующим образом:

\begin{picture}(120,120)
\multiput(0,0)(20,0){7}%
{\multiput(0,0)(0,20){7}{\put(0,0){\circle*{3}}}}
\multiput(0,0)(20,0){6}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}}
\multiput(0,0)(0,20){6}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}}
\multiput(20,20)(20,0){5}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}}
\multiput(20,20)(0,20){5}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}}
\multiput(40,40)(20,0){4}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}}
\multiput(40,40)(0,20){4}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}}
\multiput(60,60)(20,0){3}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}}
\multiput(60,60)(0,20){3}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}}
\multiput(80,80)(20,0){2}{\put(0,0){\vector(1,0){18}}}
\multiput(80,80)(0,20){2}{\put(0,0){\vector(0,1){18}}}
\put(100,100){\vector(1,0){18}}
\put(100,100){\vector(0,1){18}}
\end{picture}

10.4. УПРАЖНЕНИЕ. В кольце многочленов K[x,y,z] найти мультипликативные и немультипликативные переменные для мономов x^5, x^3y^2, xyz для каждого из глобальных инволютивных делений, рассмотренных в примерах 10.3.

Можно рассмотреть более общую ситуацию, когда фиксировано некоторое конечное множество U мономов, а инволютивное деление зависит от этого множества. При этом в левой части отношения u|_{L^V} могут стоять только мономы из множества U.

10.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Согласно [ 21 ] , на моноиде M задано инволютивное деление L, если для каждого конечного подмножества U\subset M и для каждого монома u\in U определен подмоноид L(u,U) моноида M, удовлетворяющий следующим условиям:

  1. Если w\in L(u,U) и v|w, то v\in L(u,U) ;
  2. Если u,v\in U и uL(u,U)\cap vL(v,U)\ne\emptyset, то u\in vL(v,U) или v\in uL(u,U) ;
  3. Если v\in U и v\in uL(u,U), то L(v,U)\subseteq L(u,U) ;
  4. Если V\subseteq U, то \forall\;u\in V L(u,U)\subseteq L(u,V).

Образующие моноида L(u,U) называются мультипликативными переменными для u. Если w\in uL(u,U), то пишут u|_{L^V}, и моном u называется ( L )- инволютивным делителем монома w а моном w называется ( L )- инволютивным кратным монома u. В этом случае равенство w=uv мы будем записывать в виде w=u\times
v, в противном случае - в виде w=u\cdot v, и моном v будем называть немультипликативным для u.

10.6. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что глобальное инволютивное деление является инволютивным делением в смысле определения 10.5.

Марина Подлевских
Марина Подлевских

Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование?