Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Алгоритмы вычисления размерностных многочленов
13.16. ПРИМЕР. Вычислим многочлен Гильберта матрицы
при помощи алгоритма A13. В процессе вычислений последовательно применяем (13.8), начиная с последнего столбца матрицы . Прежде всего запишем где По теореме 12.8(8) имеем Применяя (12.2) к и , получаем , где так что из формулы (13.10) следует, что Поэтому, следовательно,Рассмотрим задачу вычисления старшего коэффициента многочлена Гильберта. Пусть
( 13.13) |
13.17. ЛЕММА. Пусть — -матрица над , такая, что и первый столбец матрицы нулевой. Пусть — многочлен Гильберта матрицы и . Далее, пусть — -матрица, полученная из удалением первого (нулевого) столбца. Тогда и .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применяя (12.2) к и , получим, что . Значит, если
следовательно, и для всех , . В частности, .Отметим, что если для -матрицы степень многочлена Гильберта меньше или равна , , то
( 13.14) |
Прежде чем вычислять коэффициент многочлена Гильберта (13.13), заметим, что, без потери общности, можно предполагать, что . Действительно, применяя (12.2) к и ,получаем, что
где — матрица с элементами . Пользуясь (11.4), можно переписать последнее представление в видеПоскольку (см. лемму 13.12), имеем , следовательно, можно вместо вычислять , поэтому в дальнейших рассуждениях предполагаем, что и , где . Кроме того, предполагаем, что содержит не более двух ненулевых столбцов (следует отметить, что если в имеется единственный ненулевой столбец, то многочлен Гильберта совпадает с минимальным элементом этого столбца). Предполагая, что первый столбец матрицы ненулевой, упорядочим его элементы и применим (13.14) при . Поскольку число столбцов в (см. (13.14)) равно , вычисление можно свести к выбору минимальных элементов в столбцах матрицы (см. теорему 12.8(3)). Легко видеть, что такой выбор требует элементарных операций, где — число строк матрицы . Применяя (13.14) к , сводим вычисление (в правой части формулы (13.14)) к вычислению коэффициента многочлена Гильберта некоторой матрицы , содержащей столбец (эта матрица получена добавлением некоторых дополнительных строк к ). Чтобы вычислить , нужно не более элементарных операций (здесь обозначает число строк матрицы ). Продолжаем применять (13.14), пока не получим матрицу с нулевым первым столбцом. По лемме 13.17 такой столбец можно отбросить, затем применяем (13.14) к новой матрице и т. д.
Асимптотическая сложность описанного алгоритма не превосходит
Теперь, пользуясь алгоритмом A14 и формулой (13.14), можно найти старший коэффициент многочлена Гильберта для любой матрицы. Сложность вычисления этого коэффициента для матрицы , такой, что , не превосходит
при использовании приведенного ниже алгоритма A15. Таким образом, и, в общем случае,Завершая изложение теории размерностных многочленов, следует упомянуть размерностные многочлены от многих переменных, теория которых была заложена в статье [ 19 ] и подробно изложена в монографии [ 20 ] .