Кольцо многочленов от одной переменной
Следствие 1.13.6. Пусть K - поле. (здесь U(R) - группа обратимых элементов кольца R ).
Доказательство. Если , то , т. е. .
Если f(x)g(x)= 1, то , , , и поэтому , т. е. , .
Упражнение 1.13.7. (ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd, требующее четырех умножений ( ac, ad, bc, bd ) и одного сложения ( ad+bc ), может быть вычислено с помощью трех умножений и четырех сложений и вычитаний: .
А. А. Карацуба использовал это соображение для построения быстрых алгоритмов умножения чисел и многочленов.
Теорема 1.13.8 (алгоритм деления с остатком в кольце многочленов). Для любых многочленов , , существуют (и притом единственные) многочлены такие, что:
- f(x)=g(x)q(x)+r(x) ;
- либо r(x)=0, либо , .
Доказательство-алгоритм (деление многочленов столбиком).
Пусть f(x) = anxn+...+a1x+a0, g(x) = bsxs+...+b1x+b0, .
Если n<s, то утверждение 1) очевидно:
Пусть . Тогда:Складывая все эти равенства и сокращая, получаем
т. е. f(x)=q(x)g(x)+r(x), гдеЕсли f(x)=g(x)q(x)+r(x)=g(x)q'(x)+r'(x), при этом r(x),r'(x) или равны нулю, или имеют степень, меньшую чем , то g(x)(q(x)-q'(x))=r'(x)-r(x). Если , то получаем противоречие, поскольку степень левой части , а многочлен в правой части или нулевой, или его степень . Итак, q(x)=q'(x), и поэтому r'(x)=r(x).
Замечание 1.13.9. Если K - подполе поля K' (например, ), , f(x)=g(x)q(x)+r(x) - деление с остатком в кольце многочленов K'[x], то .
Определение 1.13.10. Пусть , . Будем говорить, что многочлен f(x) делится на , если (т. е. остаток r(x) при делении на равен нулю).
Замечание 1.13.11. Совокупность всех многочленов, делящихся на , является идеалом в кольце K[x] (называемым главным идеалом, порожденным ).
Упражнение 1.13.12. Пусть K - поле. Покажите, что кольцо многочленов K[x] является коммутативным кольцом главных идеалов.
Отметим ряд свойств делимости многочленов.
Лемма 1.13.13. Если f(x) делится на g(x), g(x) делится на h(x), то f(x) делится на h(x).
Доказательство. Действительно, если f(x)=g(x)q(x), , то .
Лемма 1.13.14. Если f(x) и g(x) делятся на h(x), то f(x)+g(x), f(x)-g(x) делятся на h(x).
Доказательство. Действительно, если f(x)=h(x)q(x), , то .
Лемма 1.13.15. Если многочлен f(x) делится на h(x), , то f(x)g(x) делится на h(x).
Доказательство. Действительно, если f(x)=h(x)q(x), то f(x)g(x)=h(x)(q(x)g(x)).
Лемма 1.13.16. Если f1(x),...,fk(x) делятся на h(x), , то f1(x)g1(x)+...+fk(x)gk(x) делится на h(x).
Доказательство. Действительно, это вытекает из лемм 1.13.15 и 1.13.14.
Лемма 1.13.17. Если , то любой многочлен делится на c.
Доказательство.Действительно, f(x)=c(c-1f(x)).
Лемма 1.13.18. Если f(x) делится на и , то f(x) делится на .
Доказательство.Действительно, если , то .
Лемма 1.13.19. Многочлены вида cf(x), , и только они являются делителями многочлена f(x), имеющими степень .
Лемма 1.13.20. Многочлен f(x) делится на g(x) и g(x) делится на f(x) тогда и только тогда, когда g(x)=cf(x), .
Лемма 1.13.21. Многочлены f(x) и cf(x), , обладают одинаковым запасом делителей в кольце K[x].