НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 3: Кольца. Поля. Идеалы и гомоморфизмы колец

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5296 / 587 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00

ISBN: 978-5-9556-0038-3

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: beta, алгебра, алгоритмы, гомоморфизм групп, гомоморфизм группоидов, группоид, изоморфизм группоидов, инъекция, коэффициентами системы, моноид, полугруппа, расширенная матрица, старший коэффициент, элементы

|

Вам нравится? Нравится 66 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Поля

Определение 1.11.1. Ассоциативное коммутативное кольцо K с 1, в котором для любого ненулевого элемента $a\in K$ существует обратный элемент a^-1, называется полем .

Лемма 1.11.2. Если K - поле, то уравнение ax=b, где $a\ne 0$ , имеет одно и только одно решение (именно, a^-1b ).

Доказательство. Если ax=b, то x=a^-1ax=a^-1b. Если x=a^-1b, то ax=a(a^-1b)=b.

Теорема 1.11.3. В поле K нет делителей нуля.

Доказательство. Допустим, что $a,b\in K$ , $a\ne 0$ , $b\ne 0$ и ab=0. Тогда b=a^-1(ab)=a^-10=0, противоречие.

Замечание 1.11.4. Обратное утверждение неверно. В кольце Z целых чисел нет делителей нуля, но оно не является полем.

Пример 1.11.5. Q, R, Z₂ - поля.

Теорема 1.11.6. Кольцо вычетов Z_n является полем полем вычетов тогда и только тогда, когда n=p является простым числом.

Доказательство. Если n=p - простое число, то Z_p - кольцо без делителей нуля (действительно, если C_kC_l=C₀, $C_k\ne C_0$ , $C_l\ne C_0$ , то kl=pq, но k и l не делятся на p, что приводит к противоречию). Доказательство завершает следующая лемма.

Лемма 1.11.7. Конечное коммутативное кольцо без делителей нуля является полем.

Доказательство. Пусть R={r₀=0,r₁=1,...,r_n-1} - кольцо из n элементов без делителей нуля. Для $r_k\ne 0$ , $1 \leq k \leq n-1$ , все произведения r_kr₁,...,r_kr_n-1 различны, поскольку r_k не является делителем нуля. Следовательно, найдется i, для которого r_kr_i=1, т. е. $r_i=r_k^{-1}$ .

Лемма 1.11.8. Пересечение $\bigcap\limits_{i\in I}K_i$ любого семейства подполей K_i, $i\in I$ , поля K является подполем.

Упражнение 1.11.9. Через $Q[\sqrt{2}]$ обозначим наименьшее подполе в R, содержащее поле Q и элемент $\sqrt{2}$ (существующее по лемме 1.11.8). Покажите, что поля $Q[\sqrt{2}]$ и $Q[\sqrt{3}]$ не являются изоморфными.

Определение 1.11.10. Рассмотрим поле K как абелеву группу (K,+) относительно сложения, пусть O(1) - порядок элемента 1 в этой группе. Если $O(1)=\infty$ , то говорят, что характеристика char K поля K равна 0 (т. е. для любых целых чисел $k,l\in Z$ из $k\ne l$ следует, что $k\cdot 1\ne l\cdot 1$ в K ). Если $O(1)=p<\infty$ , то полагают char K=p и говорят, что K - поле конечной характеристики p (т. е. p - наименьшее натуральное число, для которого $p\cdot 1=\smash[b]{\underbrace{1+...+1}_p}=0$ ).