Теория типов и комбинаторная логика

Сравним математическую теорию типов с подходом к типизации выражений, принятым в языке программирования SML.

Каждому выражению (константа, переменная, функция) языка SML поставлен в соответствие тот или иной тип. Такая система типизации в языках функционального программирования называется системой сильной типизации, а сам язык - языком с сильной типизацией.

Система типов в SML формируется по следующей схеме:

Во-первых, определяется множество базисных типов. В частности, в языке программирования SML выделяются следующие базисные типы:

• int - целые числа;
• string - строки символов;
• bool - логические значения.

Во-вторых, принимается следующее соглашение для выводимости   производных типов: если a и b считаются типами, то функция из a в b имеет тип   a→b.

Как можно заметить, формирование системы типов в SML аналогично построению системы типов в формальных математических теориях, в частности в комбинаторной логике.

Язык функционального программирования SML представляет собой язык со статической типизацией. Это означает, что процедура контроля типизации, которая является неотъемлемой частью транслятора любого современного языка программирования, должна поставить тот или иной тип в соответствие каждому выражению в тексте программы. Таким образом, приписывание типов выражениям происходит во время компиляции (compile time), а не во время выполнения (run time) программы, т.е. статически с точки зрения выполнения программы.

Тот факт, что каждый объект программы должен быть типизирован до начала ее выполнения, не означает необходимости явного приписывания типа в ходе проектирования и реализации программы.

Важным преимуществом языка программирования SML, который, напомним, возник как инструментальное средство для доказательства теорем, т.е. построения цепочек логического вывода, является так называемое свойство выводимости типов (type inference). Это свойство означает, что тип некоторых выражений языка SML может быть выведен из контекста окружающих его выражений, типы которых уже известны, путем сопоставления (при этом учитываются объемлющие и внутренние функции, аппликация, присваивание и другие операции).

При этом выводимость допускает не строгое равенство типов параметров, а лишь их сводимость друг к другу. С математической точки зрения прослеживается аналогия с отношением конвертируемости.

В случае несоответствия типов сообщение об ошибке инициируется еще на стадии компиляции, что обеспечивает более упорядоченный и эффективный процесс проектирования и реализации программного обеспечения.

Как уже отмечалось, язык функционального программирования SML является языком со строгой типизацией, т.е., говоря математическим языком, каждому выражению языка должен быть приписан тип. При этом гарантируется корректная типизация языковых объектов, что выгодно отличает SML от таких языков программирования, как, скажем, классический вариант C, в котором допускаются потенциально небезопасные для среды выполнения программы преобразования типов.

Контроль соответствия типов в языке SML, в отличие от LISP и подобных ему языков программирования, в полном объеме осуществляется на этапе компиляции, что также способствует безопасности типизации.

Еще одной важной позитивной особенностью языка программирования SML является то обстоятельство, что в нем поддерживается так называемая полиморфная типизация, суть которой можно объяснить на основе следующего примера.

Рассмотрим функцию обработки списка, которая упорядочивает его элементы по возрастанию. В классическом языке программирования со строгой типизацией, например, в языке Pascal, неизбежно придется реализовать, по крайней мере, две функции: для случаев числовых и строковых элементов списка. В SML такой необходимости не возникает, т.к. существует возможность описания функции обработки списка с переменным типом аргументов, которая безошибочно обработает и список из чисел, и список из строк, существенно сэкономив трудозатраты.

Проиллюстрируем выводимость типов в языке программирования SML на примере.

Рассмотрим функцию

let 
 val Id = fn x => x
 in (Id 3, Id true)
end

С точки зрения анализатора корректности типизации эта функция является корректно типизированной (well-typed). Конструкция let, по сути, представляет собой подстановку одной функции в другую. В этой связи выводимость типов иначе называется let -полиморфизмом.

Рассмотрим другую функцию

fn Id => (Id 3, Id true)) (fn x => x)

В отличие от предыдущей, данная функция является некорректно типизированной (ill-typed), поскольку однозначно определить тип параметра x, в отличие от предыдущего примера, не представляется возможным.

Рассмотрев введение в математическую теорию типов и подходы к типизации в языках программирования, представим в концентрированном виде те преимущества, которые отличают языки программирования и формальные теории с типами.

Прежде всего, отметим то бесспорное преимущество типизированных исчислений, что при таком подходе моделируемая предметная область структурирована лучше, чем в том случае, если отсутствует сегментация на типы. Типизация структурирует предметную область по иерархическому принципу.

Введение типизации облегчает и упорядочивает не только восприятие, но и управление предметной областью. Манипулирование типизированными элементами носит более целенаправленный характер, причем появляется возможность обрабатывать разнородные сущности предметной области различным образом, а однородные (или, точнее, однотипные) - единообразно.

Перейдем к языкам программирования и практике проектирования и реализации программных систем. В случае построения языка программирования по принципу строгой типизации несоответствия типов фиксируются до начала этапа выполнения программы (на этапе контроля соответствия типов в ходе трансляции), что гарантирует отсутствие семантических (смысловых) и логических ошибок и безопасность программного кода.

Проиллюстрируем на примерах механизм работы процедуры, осуществляющей вывод типов в языке программирования SML. В качестве первого примера определим тип статической переменной x, которой присвоим значение, сводимое к целому типу:

val x=2*3; 
val x = 6 : int

Как и следовало ожидать, значение переменной x оказывается целочисленным ( int ).

Заметим, что функция val, которая используется в примере, является стандартной функцией языка программирования SML для определения типа языкового объекта, т.е. фактически осуществляет приписывание типа (при необходимости используя механизм выводимости типов ).

В качестве второго примера определим тип константы, которой присвоим значение, также сводимое к целому типу:

1+2; 
3 : int

Как и следовало ожидать, значение константы 3 также оказывается целочисленным ( int ).

Наконец, определим тип функции сложения двух целочисленных аргументов:

fun add (x : int)(y : int) = x+y;
val add = fn : int -> int -> int

Как видно из результата, типом функции является функция из пары целочисленных значений в целочисленное значение (с точностью до скобок).

Продолжим ряд примеров. Проиллюстрируем означивание (вычисление значения) определенной выше функции сложения двух целочисленных аргументов:

add 1 3;
val it = 4 : int

Очевидно, что, как и следует из ранее вычисленного типа

( int -> int -> int ), функция, принимая на вход пару целочисленных величин, возвращает значение целочисленного типа.

Рассмотрим далее тип функции, которая является производной от функции add и производит операцию прибавления единицы:

val f = add 1;
val f = fn : int -> int

Вновь введенная функция имеет тип "из целого числа в целое число" ( int -> int ) .

Наконец, означивание последней функции

f 4;	
val it = 5 : int

в соответствии с ее типом дает целочисленный результат.

Рассмотрим пример полиморфизма - оперирования функциями переменного типа.

Для иллюстрации исследуем поведение встроенной функции hd (от слова "head" - голова), которая выделяет "голову" (первый элемент) списка, вне зависимости от типа его элементов.

Применим функцию к списку из целочисленных элементов:

hd [1,2,3];
val it = 1 : int

Получим, что функция имеет тип функции из списка целочисленных величин в целое число ( int list -> int ).

В случае списка из значений истинности та же самая функция

hd [true, false, true, false];
val it = true: bool

возвращает значение истинности, т.е. имеет следующий тип:

bool list -> bool

Наконец, для случая списка кортежей из пар целых чисел

hd [(1,2)(3,4),(5,6)];
val it = (1,2) : int*int

получим тип:

((int*int)list -> (int*int)).

В итоге можно сделать вывод о том, что функция hd имеет тип   (type list) -> type, где type - произвольный тип, т.е. полиморфна.