НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 5: Поле C комплексных чисел

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5304 / 588 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00

ISBN: 978-5-9556-0038-3

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: beta, алгебра, алгоритмы, гомоморфизм групп, гомоморфизм группоидов, группоид, изоморфизм группоидов, инъекция, коэффициентами системы, моноид, полугруппа, расширенная матрица, старший коэффициент, элементы

|

Вам нравится? Нравится 67 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Построение поля комплексных чисел

На основе проведенного анализа положим

$C= R^2=\{(a,b)\mid a,b\in R\}\text{ -}$

совокупность упорядоченных пар действительных чисел.

Рассмотрим следующие операции сложения и умножения: (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d), (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc).

Тогда:

C=( R²,+) - абелева группа (сложение ассоциативно и коммутативно; (0,0) - нейтральный элемент; (-a,-b) - противоположный элемент для (a,b) );

умножение: ассоциативно

((a,b)(c,d))(e,f) = (ac-bd,ad+bc)(e,f)=
= ((ac-bd)e-(ad+bc)f,(ac-bd)f+(ad+bc)e)=
= (ace-bde-adf-bcf,acf-bdf+ade+bce)=
= (ace-adf-bcf-bde,acf+ade+bce-bdf)=
= (a(ce-df)-b(cf+de),a(cf+de)+b(ce-df))=
= (a,b)(ce-df,cf+de)=(a,b)((a,d)(e,f));

коммутативно

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)= (ca-db,cb+da)=(c,d)(a,b);

(1,0) - нейтральный элемент, (a,b)(1,0)=(a,b), $(1,0)\neq (0,0)$ ;

выполнено свойство дистрибутивности:

(a,b)((c,d)+(e,f))=(a,b)((c+e,d+f))=
= (a(c+e)-b(d+f),a(d+f)+b(c+e))=
= (ac+ae-bd-bf,ad+af+bc+be)=
= (ac-bd+ae-bf,ad+bc+af+be)=
= (ac-bd,ad+bc) + (ae-bf,af+be)=
= (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f).

Итак, C = R² с этими операциями сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей (1,0).

Если $(a,b)\neq(0,0)$ , $a,b\in R$ , то a²+b²>0 и

$(a,b)\left(\frac{a}{a^2+b^2},-\frac{b}{a^2+b^2}\right)= \left(\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2},0\right)=(1,0),$

таким образом, каждый элемент $(0,0)\neq(a,b)\in C= R^2$ имеет обратный.

Итак, C= R² с этими операциями сложения и умножения - поле.

Осуществим вложение поля действительных чисел R в построенное поле C= R², сопоставляя любому элементу $a\in R$ пару $(a,0)\in C= R^2$ . Так как для $a,b\in R$ имеем

(a+b,0) = (a,0)+(b,0), (ab,0) = (a,0)(b,0),

то это отображение является изоморфизмом поля R на подполе $\{(a,0)\mid a\in R\}$ поля C=R². В дальнейшем мы будем отождествлять a и (a,0), полагая a=(a,0), в частности 1=(1,0).

Если i=(0,1), то i²=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1, (элемент i=(0,1) в построенном расширении C= R² поля R является корнем уравнения x²+1=0 ).

Для любых $a,b\in R$ имеем (a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)=a+bi, при этом это представление единственно (как из "анализа задачи", так и непосредственно: если a+bi=c+di, то (a,b)=a+bi=c+di=(c,d), следовательно, a=c, b=d ).

Элементы построенного поля C= R² называются комплексными числами . Форма записи комплексного числа в виде a+bi, $a,b\in R$ , называется алгебраической формой записи , в которой: (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i, (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i,

$(a+bi)^{-1} = \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\ \ \text{для } a+bi\neq 0.$

В геометрической интерпретации комплексное число z=a+bi изображается вектором в прямоугольной системе координат, выходящим из точки (0,0) в точку (a,b).

Сложение комплексных чисел соответствует сложению векторов:

Геометрическая интерпретация умножения и перехода к обратному элементу будет дана позже.

Для комплексного числа $z=a+bi\in C$ , $a,b\in R$ , $a=\text{Re} z$ называется его вещественной частью, $b=\text{Im} z$ - его мнимой частью.

Замечание 2.2.1. C уравнение x²+1=0 имеет лишь два решения: x=i, x=-i. Действительно, если (a+bi)²=-1, то a²-b²=-1, 2ab=0. Так как $b\neq 0$ (иначе a²=-1 ), то a=0 и b²=1, поэтому $b=\pm 1$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в алгебру

Поле C комплексных чисел

Построение поля комплексных чисел

Вопросы и ответы